Когда мы решаем математическую задачу мы формулируем её с помощью множеств, функций определённых на этих множествах и уравнений. Например какое-нибудь дифференциальное уравнение, что-нибудь вроде: Преобразование Лапласа позволяет по определённым правилам переформулировать эту же задачу в других терминах. Часто при таком переформулировании задача становится проще, легко решается. Например изначальное дифференциальное уравнение после преобразования превратится в: Как видим, производных больше нет...

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...