Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

Простой пример решения на АВМ линейных дифференциальных уравнений, который мы рассматривали в предыдущей статье, можно распространить и на решение систем таких уравнений. Используется точно такой же общий метод, составляются схемы-программы для каждого уравнения. И между этими схемами проводниками задаются взаимосвязи меду уравнениями и переменными. Да, это несколько сложнее, чем решение единичного уравнения, но принцип точно такой же. А значит, ничего особо интересного там нет. Поэтому давайте рассмотрим более интересный пример...