Плиско В.Е. - Введение в математическую логику - 1. Элементы теории множеств
Теория чисел - 0101 - Восхождение по лестнице бесконечного: математическая индукция от Пеано до искусственного интеллекта
1. Пролог: тайна домино Представьте бесконечно длинный ряд костяшек домино, поставленных на ребро. Первая костяшка падает, и известно, что падение любой костяшки неизбежно валит непосредственно следующую за ней. Интуиция мгновенно подсказывает: упадёт весь ряд, хотя никто никогда не видел падения бесконечного числа элементов. В этом мысленном эксперименте скрыта суть математической индукции — одного из самых фундаментальных принципов точного знания. Чтобы убедиться в свойстве всех натуральных чисел, достаточно проверить его для единицы и доказать, что оно передаётся от любого числа к следующему...
Трансфинитные числа - числа за гранью бесконечности
Когда мы называем какое-либо число, например, 12, то имеем в виду или 12 предметов, или порядковый номер, скажем, дома на улице. То есть числительные могут быть количественными и порядковыми. Когда чисел ограниченное количество, все просто. Но все меняется, когда в дело вступает математическая бесконечность, имеющая символ в виде перевернутой восьмерки. Бесконечность возникает всякий раз, когда в алгебре приходится делить какую-либо величину на ноль. Это в школе делить на ноль нельзя, а так-то, на почти 0, можно...