Теория вероятности чисел. Под вероятностной теории чисел в узком смысле понимается статистическая теория распределения значений арифметических функций. Подавляющее большинство арифметических функций, изучаемых в теории чисел, являются аддитивными или мультипликативными. Их значения обычно распределены очень сложно. Если проследить за изменением значений таких функций, когда аргумент пробегает последовательные натуральные числа, получится весьма хаотическая картина, которая обычно наблюдается при рассмотрении аддитивных свойств целых чисел совместно с мультипликативными. В классическом исследованиях при рассмотрении распределения значений действительных арифметических функций 𝑓(m) обычно изучалось асимптотическое поведение самой функции f(m) или её среднего значения. В первом случае ищутся простые функции ψ 1 (m), ψ 2 (m), чтобы было ψ 1 (m) ⩽ 𝑓(m) ⩽ ψ 2 (m) для всех m или хотя бы для всех достаточно больших m. Например, если ω (m) означает число всех различных простых делителей числа m, то ω (m) ⩾1 для всех m >1, ω (m) ⩽2 (ln ln m)-1 ln m при m⩾m0; lim inf ω (m) =1, m →∞ lim sup ω (m) (ln m)- 1 ln ln m=1. m →∞ Во втором случае рассматривается поведение (№1) 1/n ∑_(m=1)^nf(m) Для ω (m) среднее значение (№1) равно (1+0(1) ln ln n). Решение как первой, так и второй задачи в общем случае даёт мало информации о поведении функции 𝑓(m), об её колебаниях. Функция может значительно отклоняться от своего среднего значения. При это оказывается, что большие отклонения встречаются вообще довольно редко. Ставится задача отыскания границ, в которых могут колебаться значения функции 𝑓(m) для подавляющего большинства значений аргумента. Если 𝑓(m) – действительная аддитивная арифметическая функция, (№ 2) A_n=∑_(p⩽n)f(p)/p, B_n^2=∑_(p≤n)a (f^2 (p^a ))/p^a где суммы берутся по простым числам p и по степеням простых чисел p^a, то 1/n ∑_(m=1)^n (f (m)-A_n)^2≤B_n^2 (3/2+c/ln_n ) где c – абсолютная константа. Следовательно, для любого t>0 и всех m ⩽n, за исключением <(3/2+c/ln_n )nt^-2  чисел, имеет место неравенство |𝑓(m) -A_n | tB_n (аналог теоретико-вероятностного «больших чисел закона»). Для функции ω (m) это неравенство можно записать в виде |ω (m) - ln ln n|<t√ln ⁡ln ⁡n. Пусть через N_n(…) обозначено число натуральных m ⩽ n, удовлетворяющих условиям, которые будут указываться в скобках вместо многоточия. Желая более точно охарактеризовать распределение значений действительных арифметических функций 𝑓(m), приходят к рассмотрению асимптотического поведения частоты. (№ 3) 1/n N_n ( f (m)ЄE) при n →∞ , где E – любое борелевское множество. Среди асимптотических законов для (№ 3) наибольший интерес представляют законы двух типов: интегральные и локальные.