Это заметка --- опять про аксиоматические системы. Чтобы говорить о множествах серьезно, доказывать теоремы, нужны аксиомы, описывающие правила игры. Чтобы не возникали парадоксы вроде того, что придумал Б. Рассел: как быть с множеством множеств, не содержащим себя в качестве элемента? Оно не может содержать себя в качестве элемента, но не может и не содержать...

«Есть истинные положения в арифметике, что недоказуемы». Исходя из истории традиций логики и математики, может показаться, это последнее, тривиальное положение, что не заслуживает такого сложного доказательства, вида доказательства теоремы Геделя. Просто, это указание на существование аксиом, истинных, но недоказуемых положений. Только после того, как стало ясно, что все аксиомы доказуемы, и нет ни одного недоказуемого положения или формулы, в математической логике, то есть, была сформулирована,...