Теория меры "пришлась впору" для вероятности, но появилась она раньше. Давайте посмотрим на абстрактную меру без "вероятностных очков". Про "обычную" меру, которая в простых случаях просто площадь или объем, будет отдельный материал. Пока считаем, что "обычная" мера у нас уже есть и мы работаем только с теми множествами, для которых она определена: с измеримыми. Всё, что конструктивно определяется, измеримо, так что проблем здесь не будет. Пример неизмеримого множества очень прост. Возьмем окружность...

МЕРА - категория философского дискурса, фиксирующая и обобщающая результаты и процедуры измерения качественно-количественной определенности предметов, процессов и их взаимоотношений, тех средств измерения, которые выступают в функции эталонов. В противовес квалитативизму, где речь идет о качественном описании, и квантификационизму, где абсолютизируются количественные параметры и величины измеряемых предметов и процессов, анализ меры и мерных отношений исходит из единства качественных и количественных...