Теория меры "пришлась впору" для вероятности, но появилась она раньше. Давайте посмотрим на абстрактную меру без "вероятностных очков". Про "обычную" меру, которая в простых случаях просто площадь или объем, будет отдельный материал. Пока считаем, что "обычная" мера у нас уже есть и мы работаем только с теми множествами, для которых она определена: с измеримыми. Всё, что конструктивно определяется, измеримо, так что проблем здесь не будет. Пример неизмеримого множества очень прост. Возьмем окружность...

Однажды ты проснешься и осознаешь ужасающую истину: все твои сверстники мертвы, а ты по-прежнему здесь. Не потому, что ты ведешь исключительно здоровый образ жизни или имеешь невероятные гены долголетия, а из-за холодной, беспощадной математической закономерности, скрытой в самой ткани реальности. Вы когда-нибудь задумывались, почему до сих пор живы? Нет, серьезно. Каждый день миллионы людей умирают от болезней, несчастных случаев и старости. Каждую секунду вашей жизни существовала ненулевая вероятность того, что она оборвется...