Теория меры "пришлась впору" для вероятности, но появилась она раньше. Давайте посмотрим на абстрактную меру без "вероятностных очков". Про "обычную" меру, которая в простых случаях просто площадь или объем, будет отдельный материал. Пока считаем, что "обычная" мера у нас уже есть и мы работаем только с теми множествами, для которых она определена: с измеримыми. Всё, что конструктивно определяется, измеримо, так что проблем здесь не будет. Пример неизмеримого множества очень прост. Возьмем окружность...

Что такое "интеграл"? Удобнее всего, на мой взгляд, рассмотреть задачу о движении точки. За промежутки времени точка проходит какое-то расстояние. Можно ввести понятие средней скорости, поделив пройденный путь на время. Можно перейти к пределу, беря всё более мелкие интервалы, и получится мгновенная скорость: ее показывает спидометр, но она очень мало что говорит о пройденном пути. А вот пусть мгновенная скорость записывается в каждый момент времени и получается функция: зависимость скорости от времени...