Впервые интерполяционный многочлен (полином) Лагранжа был опубликован в 1795 году. Суть его в том, чтобы вычислять в известном наборе значений, отсутствующее значение, то есть производить интерполяцию. Но у меня возник вопрос: неужели за 230 лет, никто не удосужился вникнуть в механизм расчета, а вникнув, не ужаснулся от степени абсурдности вычислений? Или тех, кто это сделал уже давно сожгли на костре, а новые не рискуют? Ну что же, сожгите и меня. Теперь по порядку: 1) Полином Лагранжа позволяет...

Докажите, что для любого натурального числа n⩾2 и для любых действительных чисел a[1], a[2], …,a[n], удовлетворяющих условию a[1]+a[2]+…+a[n]≠0, уравнение a[1](x−a[2])(x−a[3])…(x−a[n])+a[2](x−a[1])(x−a[3])…(x−a[n])+…+a[n](x−a[1])(x−a[2])…(x−a[n−1])=0 имеет хотя бы один действительный корень. По структуре многочлена из левой части уравнения кажется, что в задаче где-то "зарыт" интерполяционный многочлен Лагранжа. Но будем проще! Пусть a[1]<=a[2]<=...<=a[n-1]<=a[n]. Рассмотрим функцию f(x)= a[1](x−a[2])(x−a[3])…(x−a[n])+a[2](x−a[1])(x−a[3])…(x−a[n])+…+a[n](x−a[1])(x−a[2])…(x−a[n−1]). Если для...