Рассмотрим следующую задачу: ∂²u/∂t² = a²∂²u/∂x², 0 < x < l, t > 0 u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ l ∂u/∂t(x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l Здесь: Физический смысл:Задача описывает колебания бесконечно тонкой однородной струны, закрепленной на концах. Предположим, что решение можно представить в виде произведения двух функций, зависящих от разных переменных: u(x, t) = X(x)T(t) Подставляя это выражение в уравнение и разделяя переменные, получаем: T''(t) / (a²T(t)) = X''(x) / X(x) = -λ Здесь λ - постоянная разделения. Получаем две обыкновенные дифференциальные уравнения: X''(x) + λX(x)...

Введем основные обозначения и укажем основные термины, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Если есть классическая производная, то обобщенные есть и они совпадают. В данном случае классической производной нет. Для того, чтобы найти обобщенную производную, сначала проверим локальную суммируемость функции u(x)...