Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

Профессор кафедры Математического анализа и методики преподавания математики ИЕТН ЮУрГУ Валерий Карачик предложил метод нахождения решений задачи Навье для тригармонических уравнений в единичном шаре с помощью функции Грина этой задачи. Математическая физика требует решения уравнений в частных производных, в том числе полигармонических: \delta^n u = f(x), где \delta – оператор Лапласа. При нулевой правой части и n=2 такие решения называют бигармоническими функциями, а при n=3 – тригармоническими и т...