Каждый знает, как рассчитать число π методом Монте-Карло. Об этом упоминают ещё в школе на уроке информатики. Но за скобками обычно остаётся один небольшой вопрос, о котором будет сказано чуть дальше. Позволю себе напомнить суть метода Монте-Карло применительно к вычислению числа π "школьным" способом. Берётся единичная окружность (окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице) и вписывается в квадрат. Сторона у этого квадрата получается равной двум. Затем из кармана вытаскивается...

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...