Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

Лаплас внес значительный вклад в раздел дифференциальных уравнений, разработал методы математической физики. Он является одним из создателей теории вероятностей. Известна гипотеза Лапласа, в которой он математически обосновал устойчивость солнечной системы. У Пьера Симона Лапласа масса исследований. Как только он все успевал! С 1785 года Лаплас - действительный член Парижской Академии наук. В этом же году он знакомится с Бонапартом. Принимал у него вступительные экзамены и оценил его очень высоко...