Рассмотрим следующую последовательность где Hn – гармоническое число с номером n. Докажем, что у неё существует предел. Для этого воспользуемся теоремой Больцано–Коши–Вейерштрасса: докажем монотонное убывание и ограниченность снизу. 1. Монотонность. Рассмотрим разность соседних членов последовательности А теперь воспользуемся неравенством Откуда получим монотонное убывание нашей последовательности. 2. Ограниченность. Ограничим снизу возрастающей последовательностью и докажем, что возрастающая последовательность всегда меньше убывающей...

Задача Решение Нечто подобное было в задаче про числительные. Мы имеем некое пространство с интересными характеристиками, и нужно уметь отображать любой линейный порядковый номер на порядковый номер в этом пространстве. Разделим его на сегменты, где у каждого сегмента своя длина: Структура типа Range описывает сегмент: позиция начала, длина (количество элементов) и размер одного элемента. Сначала идёт сегмент от 0 до 9 длиной 10 элементов с размером 1. Затем сегмент от 10 до 99 длиной 90 элементов с размером 2...