Всем привет! Перед тем как разбирать следующую задачу с Уральского турнира хочется поговорить вот о чем. О прямой Гаусса, а точнее о теореме Гаусса–Боденмиллера. Так она по крайней мере часто называется в англоязычной литературе. Утверждение состоит в следующем. Теорема. Ортоцентры четырех треугольников, образованных четырьмя данными прямыми лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой Гаусса соответствующего четырехсторонника. В этом утверждении многое, на первый взгляд, может показаться непонятным, внесем ясность...

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, продолжения сторон AB и CD которого пересекаются в точке E, а продолжения сторон AD и BC - в точке F. Отметим середины диагоналей AC и BD этого четырёхугольника и середину отрезка EF (точки T, P и N, соответственно). Тогда точки T, P и N лежат на одной прямой, которую называют прямой Гаусса: Заметим, что на рисунке изображён выпуклый четырёхугольник ABCD, но утверждение верно также и для невыпуклого. Докажем это утверждение. Для этого отметим середины сторон AE, ED...