В работе «Две Науки», Галилей привёл два "противоречащих" друг другу суждения о натуральных числах. Первое: некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других целых чисел); другие же числа таким свойством не обладают. Таким образом, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. Галилей предложил судить об одинаковом количестве элементов только для конечных множеств...

В книге «Механика», автором которой считают Аристотеля, мы встречаем такой парадокс. Вот два жестко соединённых колеса, одно внутри другого, с общей осью. Большее колесо катится без проскальзывания. За полный оборот оно проходит путь, равный длине его окружности. Но ведь и меньшее колесо в то же самое время проходит тот же путь! Не значит ли это, что у него такой же радиус? Конечно же нет, мы своими глазами видим, что радиусы колес разные. Дело в другом – в проскальзывании. Геометрически это объяснил...