Игра в орлянку — неисчерпаемая тема. Давайте изучим случай несимметричной монеты: игрок выигрывает ставку с вероятностью p и проигрывает с вероятностью q=1-p. Изначально у игрока А ставок, у противника В ставок. И игра идет до разорения одного из игроков. Начнем с вероятности выиграть. Обозначим ее Р(А) и посмотрим, как выражается P(n) для любого капитала n. По формуле полной вероятности, это P(n-1) при условии, что ставка будет проиграна, плюс P(n+1) при условии, что ставка будет выиграна. Это дает уравнение P(n) = pP(n+1) + qP(n-1)...

Возвращаемся к теме разностных уравнений и случайных блужданий. Почти всю теорию вероятностей можно изложить на примере орлянки: игры, один из вариантов которой выглядит так. У одного игрока А ставок, у другого В ставок; они подбрасывают монетку или ещё как-то генерируют случайную величину и с равными вероятностями ставка переходит от одного к другому. Игра идет до разорения одного из игроков. Мы уже анализировали эту игру и выяснили, что вероятность окончания игры за конечное число ходов равна единице:...