Аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Профессор Туринского университета Джузеппе Пеано[1] в статье «О понятии числа» (1891 г.) сформулировал пять аксиом: С аксиоматической точки зрения приводятся два понятия: Эти понятия косвенно определяются системой аксиом. Существующая система аксиом по форме несколько отличается от вышеприведенной. Натуральные числа – это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов a и b установлено...

Надеюсь, вы ознакомились с доступным введением в теорию множеств (начало здесь). Тогда идем дальше. Что такое натуральные числа? Интересный вопрос. Школьникам объясняют, что натуральные числа (и ноль) возникают просто при счете предметов. Во "взрослой" математике числа постулируются аксиомами Пеано. Впрочем, в последующее время исходным, фундаментальным понятием в математике стало множество. Нам предстоит познакомиться с другой, удивительной аксиоматикой натуральных чисел - исключительно через множества...