Преобразование Лапласа для функции f(t) определяется как: F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt, где s — комплексная переменная. В нашем случае f(t) = u(t) = αt. Подставляя это в формулу преобразования Лапласа, получаем: U(s) = \mathcal{L}{αt} = α \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-st} t dt. Теперь нужно вычислить этот интеграл. Для этого можно использовать метод интегрирования по частям: Пусть u = t$, тогда du = dt и dv = e^{-st} dt, тогда v = -\frac{1}{s}e^{-st}. Тогда интеграл...

Операционный метод (или метод преобразования Лапласа) — это мощный инструмент для решения различных математических задач, в том числе задач Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача: Решить задачу Коши: y''(t) + 4y(t) = sin(2t), y(0) = 1, y'(0) = 0 Решение: Ответ:В результате получим решение исходной задачи Коши в виде функции y(t)...