Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах: Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0 в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле: u(R, θ) = f(θ) где f(θ) – заданная функция на границе круга. Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: r²R'' + rR' - λR = 0 Θ'' + λΘ = 0 где λ – постоянная разделения...

Рассмотрим следующую задачу: ∂²u/∂t² = a²∂²u/∂x², 0 < x < l, t > 0 u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ l ∂u/∂t(x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l Здесь: Физический смысл:Задача описывает колебания бесконечно тонкой однородной струны, закрепленной на концах. Предположим, что решение можно представить в виде произведения двух функций, зависящих от разных переменных: u(x, t) = X(x)T(t) Подставляя это выражение в уравнение и разделяя переменные, получаем: T''(t) / (a²T(t)) = X''(x) / X(x) = -λ Здесь λ - постоянная разделения. Получаем две обыкновенные дифференциальные уравнения: X''(x) + λX(x)...