Рассмотрим следующую последовательность где Hn – гармоническое число с номером n. Докажем, что у неё существует предел. Для этого воспользуемся теоремой Больцано–Коши–Вейерштрасса: докажем монотонное убывание и ограниченность снизу. 1. Монотонность. Рассмотрим разность соседних членов последовательности А теперь воспользуемся неравенством Откуда получим монотонное убывание нашей последовательности. 2. Ограниченность. Ограничим снизу возрастающей последовательностью и докажем, что возрастающая последовательность всегда меньше убывающей...

О статье Данная статья является вводной и надеюсь, началом серии статей по теории чисел для школьников. Цель этой вводной статьи - обратить внимание всех заинтересованных - школьников и преподавателей, на данную тему. На самом деле, зачастую и те и другие понимают, где и зачем нужна теория чисел. Например, понятно, что в ЕГЭ по математике в последнем задании могут понадобиться свойства целых чисел, которые и изучаются в теории чисел. Тем не менее, какие именно знания из этого обширного раздела могут оказаться полезны для каждого экзамена или олимпиад, для многих остается загадкой...