Постановка задачи: Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для волнового уравнения на отрезке: u_tt = a^2 * u_xx, 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = φ(x) u_t(x, 0) = ψ(x) u(0, t) = u(l, t) = 0 Здесь: Метод решения: Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: u(x, t) = X(x)T(t) Подставив это выражение в уравнение и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: X''(x) / X(x) = T''(t) / (a^2 * T(t)) = -λ Здесь λ - постоянная разделения. Решая эти уравнения, получаем: X(x) = A*cos(sqrt(λ)x) + B*sin(sqrt(λ)x) T(t) = C*cos(a*sqrt(λ)t)...

Метод прогонки является частным случаем метода Гаусса и применяется для решения систем линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей. Такая система, в частности, получается при построении кубического интерполяционного сплайна...