Рассмотрим следующую последовательность где Hn – гармоническое число с номером n. Докажем, что у неё существует предел. Для этого воспользуемся теоремой Больцано–Коши–Вейерштрасса: докажем монотонное убывание и ограниченность снизу. 1. Монотонность. Рассмотрим разность соседних членов последовательности А теперь воспользуемся неравенством Откуда получим монотонное убывание нашей последовательности. 2. Ограниченность. Ограничим снизу возрастающей последовательностью и докажем, что возрастающая последовательность всегда меньше убывающей...