Рассмотрим следующую последовательность где Hn – гармоническое число с номером n. Докажем, что у неё существует предел. Для этого воспользуемся теоремой Больцано–Коши–Вейерштрасса: докажем монотонное убывание и ограниченность снизу. 1. Монотонность. Рассмотрим разность соседних членов последовательности А теперь воспользуемся неравенством Откуда получим монотонное убывание нашей последовательности. 2. Ограниченность. Ограничим снизу возрастающей последовательностью и докажем, что возрастающая последовательность всегда меньше убывающей...

Леонард Эйлер, выдающийся швейцарский математик и физик, родился в 1707 году. Его труды оказали глубокое влияние на различные области математики и науки, включая анализ, теорию чисел, геометрию и астрономию, благодаря чему он признан одним из величайших математиков всех времен. Эйлер, начав свою академическую карьеру в молодом возрасте, был профессором в Петербургской и Берлинской академиях наук. Он внес значительный вклад в математическую нотацию, в том числе введение концепции функции f(x) и использование...