Это начало серии заметок, в которой мы постараемся досконально исследовать устройство обычной таблицы умножения, а заодно, познакомиться с некоторыми элементами теории чисел и теории колец. Таблица умножения всем нам привычна и кажется простой и понятной. Однако на неё стоит взглянуть внимательно и она расскажет нам кое-что новое о числах. Причём о числах не как о количествах чего-то, а как о более общих и универсальных алгебраических системах. В одной из прошлых заметок я писал про маленькие, но гордые конечные арифметики...

Взгляните внимательно на таблицу Пифагора, а именно, на чётные строчки. А ещё конкретнее, на младшие разряды произведений. Обратите внимание на то, что все они имеют одинаковую симметрию — посередине в этих строчках расположено круглое число (результат умножения на 5), а до него и после него в числах идут одинаковые последовательности единиц. Такую симметрию называют сдвиговой. Эта симметрия, конечно же неслучайна. Она — прямое следствие того, что у нас от рождения две руки, а следовательно, система счисления, которую мы используем, чётная...