Угол есть фигура на плоскости. Стороны угла делят плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю часть плоскости тоже называют углом. Таким образом фигуры на плоскости (углы, треугольники, четырёхугольники) можно мыслить либо как часть плоскости, либо составленные из отрезков, прямых или частей прямой. Поэтому имеем два определения: Углом называется фигура образованная двумя лучами (сторонами) исходящими из одной точки (вершины). Углом называется внутренняя часть плоскости, ограниченной двумя лучами с общим началом ( вершиной)...

Геометрические понятия возникают ещё и в начальной школе. Там и точки, и прямые, и углы. Но так как детям до определённого возраста чужды абстракции и красота, их пичкают измерением всего и вся. Но если измерение длин и всех прочих расстояний достаточно естественно и особенно не противоречит тому, чтобы впоследствии изучить настоящую геометрию, то для чего детям измерять углы - да ещё и в абсолютно противоестественных градусах - я не понимаю. Серьёзно, уже к пятому классу дети на вопрос, что такое...