Теория вероятности чисел. Под вероятностной теории чисел в узком смысле понимается статистическая теория распределения значений арифметических функций. Подавляющее большинство арифметических функций, изучаемых в теории чисел, являются аддитивными или мультипликативными. Их значения обычно распределены очень сложно. Если проследить за изменением значений таких функций, когда аргумент пробегает последовательные натуральные числа, получится весьма хаотическая картина, которая обычно наблюдается при рассмотрении аддитивных свойств целых чисел совместно с мультипликативными. В классическом исследованиях при рассмотрении распределения значений действительных арифметических функций 𝑓(m) обычно изучалось асимптотическое поведение самой функции f(m) или её среднего значения. В первом случае ищутся простые функции ψ 1 (m), ψ 2 (m), чтобы было ψ 1 (m) ⩽ 𝑓(m) ⩽ ψ 2 (m) для всех m или хотя бы для всех достаточно больших m. Например, если ω (m) означает число всех различных простых делителей числа m, то ω (m) ⩾1 для всех m >1, ω (m) ⩽2 (ln ln m)-1 ln m при m⩾m0; lim inf ω (m) =1, m →∞ lim sup ω (m) (ln m)- 1 ln ln m=1. m →∞ Во втором случае рассматривается поведение (№1) 1/n ∑_(m=1)^nf(m) Для ω (m) среднее значение (№1) равно (1+0(1) ln ln n). Решение как первой, так и второй задачи в общем случае даёт мало информации о поведении функции 𝑓(m), об её колебаниях. Функция может значительно отклоняться от своего среднего значения. При это оказывается, что большие отклонения встречаются вообще довольно редко. Ставится задача отыскания границ, в которых могут колебаться значения функции 𝑓(m) для подавляющего большинства значений аргумента. Если 𝑓(m) – действительная аддитивная арифметическая функция, (№ 2) A_n=∑_(p⩽n)f(p)/p, B_n^2=∑_(p≤n)a (f^2 (p^a ))/p^a где суммы берутся по простым числам p и по степеням простых чисел p^a, то 1/n ∑_(m=1)^n (f (m)-A_n)^2≤B_n^2 (3/2+c/ln_n ) где c – абсолютная константа. Следовательно, для любого t>0 и всех m ⩽n, за исключением <(3/2+c/ln_n )nt^-2  чисел, имеет место неравенство |𝑓(m) -A_n | tB_n (аналог теоретико-вероятностного «больших чисел закона»). Для функции ω (m) это неравенство можно записать в виде |ω (m) - ln ln n|<t√ln ⁡ln ⁡n. Пусть через N_n(…) обозначено число натуральных m ⩽ n, удовлетворяющих условиям, которые будут указываться в скобках вместо многоточия. Желая более точно охарактеризовать распределение значений действительных арифметических функций 𝑓(m), приходят к рассмотрению асимптотического поведения частоты. (№ 3) 1/n N_n ( f (m)ЄE) при n →∞ , где E – любое борелевское множество. Среди асимптотических законов для (№ 3) наибольший интерес представляют законы двух типов: интегральные и локальные.

«Асимптотические законы теории вероятностей» А. Я. Хинчин Математика в монографиях. Серия обзоров. Книга 3. Асимптотические законы теории вероятностей.Под редакцией акад. И. М. Виноградова, проф. А. Н. Колмогорова, проф. Л. А. Люстерника, проф. А. И. Плеснера. Перевод с немецкого И. С. Пискунова и А. Н. Эрастовой.В предметом отношении основной целью теории вероятностей является математический анализ массовых явлений. В формальном отношении этим определяется круг задач, гносеологически довольно точно очерченный; теоретическое изучение тех закономерностей явлений и процессов, которые в своих основных чертах обуславливаются именно массовым характером этих явлений или процессов (т.е. наличие в них большого числа в той или иной мере равноправных событий, величин и т.п.), так что индивидуальные свойства отдельных ингредиентов до некоторой степени оттесняются на задний план.Наконец, в чисто математическом отношении это приводит к инфинитезимальным исследованиям особого рода, в которых систематически изучаются и обосновываются предельные законы, имеющие место при безграничном возрастании числа ингредиентов. В этой связи так называемые "предельные теоремы" теории вероятностей отнюдь не являются какой-либо обособленной ветвью этой науки, но, напротив, составляют собою наиболее существенную часть её проблематики. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1936 года (издательство "Объединённое научно-техническое НКТП СССР"). Это и многое другое вы найдете в книге Асимптотические законы теории вероятностей (А. Я. Хинчин). Напишите свою рецензию о книге А. Я. Хинчин «Асимптотические законы теории вероятностей» http://izbe.ru/book/84751-asimptoticheskie-zakony-teorii-veroyatnostey-a-ya-hinchin/