Продолжаем знакомство с теорией множеств на дилетантском уровне - без формул. Предыдущие заметки охватывали "школьную" тематику, теперь перейдем к сюжетам поинтереснее. Аксиома выбора - то, вокруг чего скрещивались когда-то копья. Из нее вытекают важные следствия. Кстати, разбор ее поможет лучше понять особенности подхода к множествам. Начнем с формулировки Аксиома выбора: В любом множестве (семействе!) непустых множеств А - в каждом множестве А можно выбрать по одному элементу. Вроде бы непонятно: раз множества непустые, значит, хотя бы один-то элемент в каждом имеется...

Отвечаю на вопрос к статье про аксиому выбора: какие аксиомы теории множеств (система Цермело-Френкеля) разрешают парадокс Б. Рассела? Парадокс Рассела, если кто не помнит, таков: назовем множество нормальным, если оно само себя не содержит в качестве элемента. Те, которые содержат себя, соответственно, ненормальные. Нормально ли множество всех нормальных множеств? Если нормально, то оно себя не содержит, а значит оно не входит в множество всех нормальных и потому ненормальное; если же оно ненормально, то оно должно содержать себя...

Начало: Предыдущий урок: Мы уже познакомились с теорией множеств на уроках Математика для чайников. Глава 7. Множества и Математика для чайников. Глава 16. И снова множества, и как они связаны с математическим анализом. Сегодня продолжим эту увлекательную тему, познакомившись с некоторыми интересными парадоксами, которые вытекают из теории множеств. И первый парадокс, который мы рассмотрим, это парадокс брадобрея. Брадобрей – это так называли парикмахеров в старину. И так, сначала я расскажу небольшую историю: Жил бы полковой брадобрей...