Аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Профессор Туринского университета Джузеппе Пеано[1] в статье «О понятии числа» (1891 г.) сформулировал пять аксиом: С аксиоматической точки зрения приводятся два понятия: Эти понятия косвенно определяются системой аксиом. Существующая система аксиом по форме несколько отличается от вышеприведенной. Натуральные числа – это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов a и b установлено...

Анализ аксиоматических теорий порой преподносит сюрпризы буквально на ровном месте. Рассмотрим с детства знакомый ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, и так далее. На них заданы операции сложения и умножения с обычными аксиомами: a+b=b+a, a(b+c)=ab+ac, a+0=a, и все в таком роде...