Продолжаем знакомство с теорией множеств на дилетантском уровне - без формул. Предыдущие заметки охватывали "школьную" тематику, теперь перейдем к сюжетам поинтереснее. Аксиома выбора - то, вокруг чего скрещивались когда-то копья. Из нее вытекают важные следствия. Кстати, разбор ее поможет лучше понять особенности подхода к множествам. Начнем с формулировки Аксиома выбора: В любом множестве (семействе!) непустых множеств А - в каждом множестве А можно выбрать по одному элементу. Вроде бы непонятно: раз множества непустые, значит, хотя бы один-то элемент в каждом имеется...

Еще один сюрприз из области оснований математики. Как я уже рассказывал, существуют аксиоматические теории множеств, регламентирующие "правила игры". Потому что с "наивной" теорией далеко не уедешь --- либо полезут парадоксы, либо ничего не доказать. Мы уже обсуждали гипотезу континуума: на отрезке может быть множество, которое несчетное, но и не континуум...