Существует легенда, что примерно в 2200 году до н. э. китайский император обнаружил в реке Хуанхэ черепаху с загадочными точками на панцире. В каждой из девяти ячеек панциря черепахи, напоминавших вместе квадрат 3×3, был набор из точек , сумма которых в каждой строке, столбце и двух диагоналях была одинакова и равна 15. Этот квадрат получил название Ло Шу. Нам он больше известен как магический квадрат. Китайцы наделяли каждое число квадрата определенным значением, например, 5 в центре – это символ земли, другие числа символизировали воду, огонь, дерево и металл...

Пусть a, b, c - натуральные числа. Могут ли все три числа a^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+b быть точными квадратами натуральных чисел? Это небольшая переформулировка задачи 1 из 23-й Азиатско-Тихоокеанской олимпиады (2003 год). Ниже будут приведены два решения. В обоих будет предполагаться, что эти числа могут быть точными квадратами. Первое решение. Если мы предположим, что a^2+b+c - точный квадрат, то это число не меньше (a+1)^2, т.е. a^2+b+c>=a^2+2a+1; b+c>=2a+1. Аналогично получим неравенства c+a>=2b+1 и a+b>=2c+1. Теперь сложим три полученных неравенства...