7. Решение простых интегралов на использование свойств: 1) Интеграл суммы равен сумме интегралов. ʃ (f (x) + g (x)) dx = ʃ f (x) dx + ʃ g (x) dx 2) Интеграл разности равен разности интегралов. ʃ (f (x) - g (x)) dx = ʃ f (x) dx - ʃ g (x) dx Пример один. ʃ (3x ² + 5x) dx = Интеграл суммы равен сумме интегралов. ʃ 3x ² dx + ʃ 5x dx = Вынесем числа за знаки интеграла. = 3 ʃ x² dx + 5 ʃ x dx = 3x ³ /3 + 5x ² /2 + C = x ³ + 5/2 x ² + C Ответ: x ³ + 5/2 x ² + C К сумме или разности функций, любое число прибавляется один раз. Пример два. ʃ (√x - x ² /2) dx = Интеграл разности равен разности интегралов...

Эта задача была в варианте 1 Объединённой межвузовской математической олимпиады (ОММО) 2 февраля 2020 года. Упоминание варианта здесь важно, потому что в двух вариантах из четырёх метод, предложенный ниже, не работает. Из школьного курса алгебры мы знаем формулы для синуса тройного угла и косинуса тройного угла: sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x); cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x). Подставим эти формулы в уравнение: 12 sin(x)-16 sin^3(x)+52 cos^3(x)-39 cos(x)=8 sin(x)+11 cos(x); 4 sin(x)-16 sin^3(x)+52 cos^3(x)-50 cos(x)=0; 2 sin(x)-8 sin^3(x)+26 cos^3(x)-25 cos(x)=0; Теперь воспользуемся основным тригонометрическим...