Задача: Докажите, что в  любом треугольнике с  углами  α, β, γ верно равенство: sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) – 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ) ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Начертим треугольник со сторонами a, b и с, напротив которых соответственно лежат углы α, β и γ. По теореме косинусов c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos γ По теореме синусов sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c ⇒ a = c * sin(α)/sin(γ) и b = c * sin(β)/sin(γ)...

Задача: Шесть равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей четырёх голубых треугольников равна сумме площадей двух жёлтых. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: S△ABN = S△BDN так как они правильные с общей стороной, по той же причине S△BCF = S△CFL. Пусть стороны мéньших голубых треугольников равны a, бо́льших голубых - b. Также пусть ∠ABC = α, тогда ∠DBF = 360° - 60° - 60° - 60° - α = 180° - α...