Алекса Джурасович является воспитанником "Спартака" из его родного города Суботицы. С сезона 2019/20 он выступал за молодежный состав клуба элитного дивизиона Сербии, а в июне 2020 года дебютировал на профессиональном уровне за главную команду в Суперлиге. В 114 матчах за "основу" Алекса отметился двумя забитыми мячами и голевой передачей: в минувшем сезоне опорник был незаменимым игроком "Спартака".