421 подписчик
Предлагаю Вашему вниманию два уравнения. Не сложные, но интересные, с изюминкой. Особенно первое.
1. Нужно решить уравнение с двумя переменными второй степени. Вот оно.
5x^2 + 5y^2 + 8xy + 2x - 2y + 2 = 0. Сразу не видно, за что здесь можно ухватиться, но квадраты и 8ху на кое-что намекают. Запишем уравнение так: x^2+4xy+4y^2+4x^2+4xy+y^2 +2(x-y)+2=0, теперь запишем первые три и вторые три как квадрат суммы, получим (x+2y)^2+(2x+y)^2 +2(x-y)+2=0.
Обозначим a=2x+y и b=x+2y, тогда a-b=x-y. Уравнение примет такой вид a^2+b^2+2(a-b)+2=0, запишем так a^2+2a+1+b^2-2b+1=0, получим (a+1)^2+(b-1)^2=0.
Сумма двух квадратов равна 0, если каждое выражение равно нулю. Тогда a+1=0, а=-1, b-1=0, b=1. Возвращаемся к исходной подстановке, получим 2х+у=-1, х+2у=1, х=1-2у, 2-4у+у=-1, -3у=-3, у=1, х=-1. Ответ: х=-1, у=1.
2. Второе уравнение - тригонометрическое, вот такое 3sin2x + cos2x = 2.
Очень часто такие уравнения рекомендуют решать с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Формулы достаточно громоздкие, запоминаются трудно. Предпочитаю решать их с помощью формул двойного угла, так проще. Итак sin2x=2sinxcosx, сos2x=cos^2(x) - sin^2(x) , а двойку заменим с помощью основного тригонометрического тождества, то есть sin^2(x)+cos^2(x)=1. Тогда 6sinxcosx+cos^2(x)-sin^2(x)-2sin^2(x)-2cos^2(x)=0, упростим, 6sinxcosx-cos^2(x) -3sin^2(x)=0. Разделим каждое слагаемое на cos^2(x) не равное 0, иначе и синус х был бы равен 0, а это невозможно одновременно. Получаем 6tgx-1-3tg^2(x)=0, 3tg^2(x)-6tgx+1=0, заменим tgx=a, тогда 3a^2-6a+1=0, дискриминант равен 6, а1=(3+√6)/3, а2=(3-√6)/3. Итак, tgx=(3+√6)/3, тогда x1=arctg(3+√6)/3+Пk, tgx=(3-√6)/3, x2=arctg(3-√6)/3+Пn, где k и n принадлежат множеству целых чисел.
Спасибо, что Вы дочитали. Предлагаю Вам для разминки уравнение sinx+cosx=1. Так, чтобы вспомнить школу.
Желаю Вам здоровья, благополучия, успехов в делах.
1 минута
7 февраля 2024