402 подписчика
Предлагаю сегодня разобрать несколько нестандартных заданий. Три - на теорему Виета, одно - на разложение на множители. Взгляните, они достаточно интересные, развивают. Что, впрочем, математика делает всегда. Это одно из ее назначений - развивать. Итак, задания.
1. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения x^2 + ( k^2 + 4k - 5)x - k = 0 равна нулю ?
По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. То есть - (k^2+4k-5) = 0 , k^2 + 4k - 5 =0, дискриминант D=2^2+5=9, k1=-2+3=1, k2=-2-3=-5. Ответ: k1=1, k2=-5. Зная теорему Виета, решение элементарное.
2. В уравнении x^2 - 4x + a =0 сумма квадратов корней равна 16. Найти а.
Решение. x1+x2=4 , по условию, x1^2 + x2^2 = 16. Тогда x1^2 + x2^2 + 2x1*x2 - 2x1*x2 = (x1 + x2)^2 - 2x1*x2 =16, подставим 4^2 - 2a = 16, 16 - 2а = 16, а = 0. Легко и просто.
3. В уравнении x^2 - 2x + a = 0 квадрат разности корней равен 16. Найти а.
Решение. По теореме Виета x1+ x2 = 2, x1*x2=a, по условию (x1 - x2)^2 = 16, x1^2 - 2x1*x2 + x2^2 =16, x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 -2x1*x2 = 16, (x1 + x2)^2 - 4x1*x2 = 16, 4 - 4a =16, а = -3.
4. Решить уравнение в целых положительных числах x^2 - y^2 = 455.
Разложим на множители. (x + y)(x - y) = 13*7*5*1. Тогда, 1) x + y = 91, х - y = 5 ; х=48, y=43. 2) x + y =455, x - y = 1; x=228, y=227; 3) x + y = 65, x - y = 7; x=36 , y=29; 4) x + y = 35, x - y = 13; x=24, y=11.
А теперь задание для Вас. Докажите, пожалуйста, что (2 + √3)/( √(21 + 12√ 3) = tg П/6.
Спасибо, что Вы прочитали, что интересуетесь и любите математику. Желаю Вам успехов и здоровья.
1 минута
21 декабря 2023