423 подписчика
Сегодня предлагаю Вам два нестандартных математических задания. Нестандартные, значит интересные. Любители математики точно получат эстетическое удовольствие от этих заданий. Спасибо замечательному математику Генкину С.А., это его задачи. И моему старому конспекту его семинаров.
1. Для положительных чисел X, Y, Z известно, что X^2 + Y^2 =16 , Y^2 + Z^2 =48 , Y^2 =X*Z . Не вычисляя X , Y , Z найти XY + YZ .
Смотрите, в первых двух выражениях явно просматривается теорема Пифагора, но и третье выражение - свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Эта высота является средним пропорциональным между отрезками, на которые основание высоты делит гипотенузу. Вот давайте и нарисуем (или представим, что еще полезнее) прямоугольный треугольник АВС, из прямого угла С опустим высоту CH на гипотенузу АВ. Пусть АH = X , BH = Z , CH = Y , тогда, АС = √16 = 4 , СВ =√48 = 4√3. А дальше все просто. XY + YZ = Y( X + Z ) - это произведение гипотенузы на высоту, то есть две площади прямоугольного треугольника АВС. Но ведь нам известны катеты треугольника АВС, тогда удвоенная площадь равна АС*СВ =4*4√3 =16√3. Ответ: XY + YZ =16√3. Как просто, верно ?
2. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны √52 и √73. Чему равна гипотенуза?
В прямоугольном треугольнике АВС проведем медианы АN = √73 и ВM =√52. Пусть ВС = а , АС = b. Нужно найти с = √(а^2 + b^2). Решение: а^2 + (b^2)/4 = 52 ; b^2 + (a^2)/4 = 73 . А давайте, Вы сами дорешаете эту нетрудную систему. Ответ сверим в комментариях.
И еще Вам одну задачу. Вот такую, детскую.
В математической олимпиаде участвовали 100 школьников. Им предложили четыре задачи. Задачу №1 решили 90 человек, вторую решили 80 человек, №3 - 70 школьников, а №4 - 60. Но никто не решил все задачи. Награду вручили участникам, которые решили и №3, и №4. Сколько школьников получили награду?
Спасибо, что Вы посмотрели задачи. Желаю Вам успешного решения и, конечно, здоровья и благополучия.
1 минута
6 декабря 2023