Найти тему
41 тыс подписчиков

📎Разбор задания №24 из ОГЭ

📍Задача:

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма  ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT. Рисунок в ленте.

📍 Решение 1:
Точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром его симметрии (Атанасян Л. С. Геометрия 7−9, п. 47). Поэтому точки  B и  D, а также точки  P и T симметричны относительно точки  O. Следовательно, относительно этой точки симметричны отрезки BP и DT . Тем самым они равны.

📍 Решение 2:
Рассмотрим треугольники BOP и DOT. Диагональ параллелограмма делится
точкой пересечения пополам, поэтому BO = OD. Углы PBO и ODT равны как
накрест лежащие при пересечении параллельных прямых
AB и DT секущей BD. Углы BOP и DOT равны как вертикальные.
Следовательно, треугольники BOP и DOT равны по стороне и
прилежащим к ней углам, тогда BP = DT.

📍 Решение 3:
Проведём через точку O прямую HK, перпендикулярную стороне AB. Поскольку стороны AB и CD параллельны, HK также перпендикулярно и стороне CD.  Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам.
Рассмотрим треугольники AOB и COD, BO равно OD, AO равно OC, углы AOB и COD равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их соответствующие элементы, то есть OH = OK.
Рассмотрим треугольники OPH и OKT, они прямоугольные, OH  равно OK, углы POH и KOT равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому  OP равно OT. Рассмотрим треугольники BOP и TOD , OP равно  OT, OB  равно OD, углы POB и TOD равны как вертикальные, следовательно, данные треугольники равны, и BP = DT .

📍Ответ: Ч.т.д.

Чтобы записаться на курс «ОГЭ на 5» или узнать подробности пиши сюда:wa.me/...034
Делать ещё такие разборы задач?😏
1 минута