53 подписчика
Что ж, в Екатеринбурге продолжает идти дождь, а в голосовании не более чем конечное число голосов из ω-последовательности было отдано за то, чтобы опубликовать решение задачи сегодня. Так и делаем.
Решение предполагает некоторые идеализации, но и формулировка самой задачи их предполагает! Где вы видели, например, ω-последовательность людей? Итак. Вот у нас имеется эта ω-последовательность людей, на которых случайным образом надеты красные и синие шляпы. Каждый видит только шляпы, которые надеты на людей, стоящих в последовательности после него. Свою шляпу и шляпы всех людей, стоящих в последовательности до него, этот человек не видит.
Выберем произвольного человека. На каком месте в последовательности стоит этот человек? Очевидно, на каком-то месте, соответствующем некоторому натуральному числу. Значит, до любого человека в этой последовательности стоит не более чем конечное число людей.
Далее, всякое распределение шляп представляет собой ω-последовательность, ведь именно столько у нас людей, а у каждого из них ровно 1 шляпа. Обозначим множество всех таких распределений шляп как S. Какая бы последовательность ни была реализована в действительности, она является элементом множества S.
Будем называть две последовательности распределения шляп эквивалентными, если различия между ними не более чем конечны (последовательности будут сравниватся поэлементно: 1-ый с 1-ым, 2-ой со 2-ым и т. д.). Разделим наше множество S на классы эквивалентности с помощью этого только что определённого отношения эквивалентности. Реализованная в действительности последовательность шляп попадает, таким образом, в один из этих классов эквивалентности.
С помощью аксиомы выбора выделим из каждого класса эквивалентности одну последовательность, которую будем считать представителем этого класса. Стратегия состоит в том, что каждый должен отвечать так, будто в действительности реализован один из представителей этих классов эквивалентности, который совпадает с тем, что этот человек видит. Обратите внимание, что каждый не видит только конечное число шляп. Это означает, что даже если произвольный человек ошибается относительного того, какая именно последовательность распределения шляп реализована в действительности (например, ошибается относительного того, какие шляпы надеты на тех, кто стоит до него, и на него самого), он всё равно выбирает одну из последовательностей, эквивалентных (по нашему отношению эквивалентности) последовательности, реализованной в действительности. То есть, каждый человек не знает, какая именно последовательность реализована в действительности, но знает к какому классу эквивалентности она относится! Итак, ответ даётся в соответствии с представителем класса эквивалентности. Если этот представитель не совпадает с реализованной в действительности последовательностью распределения шляп, то различия между ними не более чем конечны. Значит, не более чем конечное число людей ответит неправильно.
2 минуты
20 июня 2023