Геометрическая прогрессия — одно из важнейших понятий в математике, которое помогает объяснять закономерности и процессы с постоянным множителем. Вместе с учителями математики РБК Life разобрался, какими свойствами она обладает и где ее используют.
Что такое геометрическая прогрессия
В математике геометрическая прогрессия — это тип числовой последовательности, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на фиксированное число, не равное нулю (знаменатель). Например, 2, 4, 8, 16, 32, 64 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 [1].
Чаще всего геометрическую прогрессию обозначают как bⁿ, где n — это порядковый номер члена последовательности. Число, на которое каждый раз умножают предыдущий член, чтобы получить следующий, называют знаменателем прогрессии и обычно обозначают как q.
Если каждый новый член больше предыдущего, такую прогрессию называют возрастающей. В этом случае знаменатель q больше 1 — q > 1. Если же каждый следующий член ряда становится меньше, прогрессия убывающая [2].
Задачи с геометрическими последовательностями решали еще около двух тысяч лет до нашей эры в Месопотамии. Позже древнегреческие ученые, такие как Евклид и Архимед, продолжили развивать идею. Евклид описал свойства последовательностей в «Началах», а Архимед использовал бесконечные геометрические серии в методе исчерпания — например, при расчете площади параболического сегмента. Это стало важным шагом к появлению интегрального исчисления [3].
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической
Репетитор по математике Анастасия Борисова объясняет, что обе прогрессии по своей сути — последовательности, у которых есть свои законы получения каждого следующего элемента.
Формула геометрической прогрессии
Формула для вычисления n-го члена прогрессии:
bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹, где bₙ — n-й член прогрессии, b₁ — первый член, q — знаменатель, n — номер члена прогрессии [4].
Например, b₁ = 3, q = 2, n = 5, тогда b₅ = 3 * 2⁵⁻¹ = 3 * 2⁴ = 3 * 16 = 48.
Свойство геометрической прогрессии
Главное свойство геометрической прогрессии: если все члены геометрической прогрессии положительны, то квадрат любого члена последовательности (начиная со второго) равен произведению его соседних членов [2].
Свойство можно записать с помощью формул:
Задачи с геометрической прогрессией
- Найдите b₅ — пятый член геометрической прогрессии, если первый член прогрессии b₁ = 5, а знаменатель q = 2.
- Найдите b₇ — седьмой член геометрической прогрессии, если первый член прогрессии b₁ = 2, а знаменатель q = 4.
- Между числами 27 и 8 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
Ответы на задачи:
- Решаем задачу по формуле bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹, тогда b₅ = 5 * 2⁵⁻¹ = 5 * 2⁴ = 5 * 16 = 80. Ответ: b₅ = 80.
- Решаем задачу по формуле bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹, тогда b₇ = 2 * 4⁷⁻¹ = 2 * 4⁶ = 2 * 4096 = 8192. Ответ: b₇ = 8192.
- Мы имеем четыре члена геометрической прогрессии, из которых нам известны два: b₁ = 27, b₄ = 8. Подставляем значения в формулу bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹, тогда 8 = 27 * q⁴–¹ = 27 * q³. Из этого вытекает, что q³ = 8/27, сокращаем и получаем q = ⅔. Далее вычисляем пропущенные члены геометрической прогрессии. b₂ = b₁ * q = 27 * ⅔ = 18. b₃ = b₂ * q = 18 * ⅔ = 12. Ответ: геометрическая прогрессия — 27, 18, 12, 8.