Что такое равенство и неравенство в математике

Как их составлять

С равенствами и неравенствами знакомятся в начальной школе: с их помощью сравнивают числа, записывают результаты вычислений, а позже решают уравнения и другие задачи по алгебре. РБК Life рассказывает, чем равенство отличается от неравенства, какие знаки используют для записи и как их составлять.

Что такое равенство и неравенство

Равенство — это математическая запись, в которой два числа или два выражения имеют одинаковое значение, то есть они равны. Между ними ставят знак «=». Например, 5 = 1 + 4 (пять равно один плюс четыре); 8 + 2 = 10 (восемь плюс два равно десять); 7 = 7 (семь равно семи).

Неравенство — это математическая запись, в которой сравнивают два числа или два выражения. Для записи неравенств используют знаки «<», «>», «≤» и «≥». Знак «≠» показывает, что два значения не равны [1]. Например, 5 < 8 (пять меньше восьми); 10 > 6 (десять больше шести); x ≤ 7 (x меньше или равно семи); y ≥ 2 (y больше или равно двум); 9 ≠ 5 (девять не равно пяти).

РБК Life📷Примеры равенства и неравенства

Знак равенства появился в XVI веке, а знаки «меньше» и «больше» — в XVII веке. Знак «=» впервые появился в печати в 1557 году в книге английского математика Роберта Рекорда The Whetstone of Witte. Знаки «<» и «>» впервые напечатали в 1631 году в посмертно изданной работе Томаса Хэрриота Artis Analyticae Praxis [2].

Типы неравенств

По знаку сравнения неравенства делят на строгие и нестрогие.

• Строгие. Записываются со знаками «<» и «>». Равенство величин в них исключено. Например, 6 < 10 (шесть меньше десяти) и 15 > 8 (пятнадцать больше восьми) [3].
• Нестрогие. Записываются со знаками «≤» и «≥» и допускают равенство. Например, x ≥ 5 означает, что x может быть равен 5 или быть больше 5.

Также выделяют двойные неравенства, в которых записывают сразу два сравнения. Например, 2 < x < 7 (два меньше x, x меньше 7) означает одновременно, что x > 2 и x < 7 [4].

Знаки равенства и неравенства

Для записи равенств и отношений между величинами используют знаки «=», «≠», «<», «>», «≤» и «≥».

• Равно («=»). Означает, что две величины или два выражения имеют одинаковое значение.
• Не равно («≠»). Показывает, что значения двух частей различаются.
• Больше («>»). Значение слева больше значения справа.
• Меньше («<»). Значение слева меньше значения справа.
• Больше или равно («≥»). Значение слева больше значения справа или равно ему.
• Меньше или равно («≤»). Значение слева меньше значения справа или равно ему.

РБК Life📷Основные знаки равенства и сравнения в математике

Знаки «<» и «>» можно различать по форме: широкая сторона указывает на большее значение, узкая — на меньшее [1]. При этом направление самого знака не имеет значения: меньшее значение всегда находится со стороны его вершины, а большее — со стороны широкой части. Например, в записи 3 < 7 вершина знака обращена к 3, а широкая часть — к 7. В записи 7 > 3 все наоборот только с точки зрения направления записи: вершина по-прежнему указывает на меньшее число — 3, а широкая часть обращена к большему — 7.

Как составлять равенство и неравенство

Чтобы составить числовое равенство или неравенство из двух выражений, вычислите их значения, сравните результаты и выберите соответствующий знак.

Как составить равенство

1. Вычислите значения обеих частей. Например, 7 + 3 = 10, а 5 × 2 = 10.
2. Сравните результаты. Значения совпадают, поэтому между выражениями можно поставить знак «=».
3. Запишите и проверьте равенство. Получится 7 + 3 = 5 × 2.

Как составить неравенство

1. Вычислите значения обеих частей. Например, 6 + 2 = 8, а 12 − 1 = 11.
2. Сравните результаты и выберите знак. 8 меньше 11, значит, нужен знак «<».
3. Запишите и проверьте неравенство. Получится 6 + 2 < 12 − 1.

Если условие допускает равенство величин, используют знаки «≤» и «≥». Например, x ≤ 7 означает, что x может быть меньше 7 или равен 7.

Примеры равенства и неравенства

Числовые равенства и неравенства состоят из чисел или числовых выражений и могут быть верными или неверными.

Примеры равенств

• 34 = 30 + 4. Выражение справа равно 34.
• 4 × 5 = 10 + 10. Обе части равны 20.
• 2³ = 8. Значение степени равно 8.

Примеры неравенств

• 24 > 18. Число 24 больше 18.
• 12 + 3 > 10. После вычисления получаем 15 > 10.
• 7 ≥ 7. Знак ≥ допускает равенство, поэтому неравенство верное.

Частые вопросы

Как объяснить ребенку равенства и неравенства?

Объяснять разницу между равенством и неравенством ребенку проще на конкретных предметах и понятных ассоциациях.

Уравнение — это равенство или неравенство?

Уравнение — это два выражения, соединенные знаком равенства. Например, x + 3 = 8; y = 4 + 10 — 2. Решить уравнение значит найти значение неизвестной (x, y и так далее), при которой равенство будет верным.

Что такое числовое равенство и числовое неравенство?

Числовое равенство состоит из чисел или числовых выражений, соединенных знаком равенства. Например, 8 + 2 = 5 × 2.

Числовое неравенство сравнивает числа или числовые выражения. Например, 15 > 9.

Можно ли менять местами части равенства и неравенства?

Да, части равенства можно поменять местами: 5 + 3 = 8 и 8 = 5 + 3.

При перестановке частей неравенства направление знака меняется: 3 < 7 можно записать как 7 > 3.

Можно ли сравнивать простые и составные числа?

Да. Простые и составные числа сравнивают по тем же правилам, что и любые другие числа. Например, 7 < 9. Число 7 относится к простым, а 9 — к составным.

Главное о равенстве и неравенстве

• Равенство показывает, что две величины или два выражения имеют одинаковое значение. Для записи используют знак «=».
• Неравенство сравнивает две величины или выражения. Для записи используют знаки «<», «>», «≤» и «≥».
• Строгие неравенства записывают со знаками «<» и «>», нестрогие — со знаками «≤» и «≥».
• Равенства и неравенства могут быть верными и неверными. Для проверки сравнивают значения обеих частей.
• Если поменять части неравенства местами, направление знака меняется: 3 < 8 и 8 > 3.