Что это такое
Движение в поле тяжести Земли - это, иначе говоря, движение тел на планете Земля. Движение может быть любым: тело движется вертикально вверх(поднимается), вертикально вниз (падает), движется под углом к горизонту (траекторией такого движения будет парабола).
В школьном курсе, эти виды движения рассматриваются только под действием силы тяжести, силу трения воздуха не учитывают. Поэтому все тела, двигающиеся в поле тяжести Земли, неважно какого размера и формы - будут двигаться с постоянным ускорением свободного падения g, которое равно 9.8 м/с^2 (в экзаменах по физике берётся 10 м/с^2 для простоты расчётов).
При этом, интересный факт - ускорение свободного падения на самом деле не постоянно по планете. Это связано с тем, что земля имеет приплюснутую к полюсам форму, поэтому расстояние до центра Земли не постоянно - это и влияет на величину g (конкретную форму связи я приведу в разделе Динамика, пока для нас это не имеет значения).
Движение вдоль вертикали
Так как движение тел происходит с постоянным ускорением свободного падения g - значит движение в поле тяжести Земли равноускоренное (равноускоренное движение я рассматривал в статье 1.1.2, поэтому советую с ней ознакомиться перед этой темой).
Начнём описание с движения вертикально вверх:
Запишем канонический вид x(t) для равноускоренного движения:
Для нашего случая, проекция скорости получится со знаком плюс и по величине будет равна модулю начальной скорости (вектор параллелен оси, поэтому его длина совпадает с проекцией).
Проекция ускорения берётся со знаком минус (противоположно направлена оси), а по величине равна ускорению свободного падения (вектор параллелен оси, поэтому его длина также совпадает с проекцией).
Как я уже упоминал в предыдущих статьях - выбор направления оси может быть произвольным. При этом, от этого выбора, характер движения никак не зависит. На рисунке я взял направлении оси вверх ради удобства, но от направления вниз - качественно движение бы не изменится. Выбор названия оси тоже не важен, можно называть её хоть x, хоть y, хоть как-либо ещё. В математике принято вертикальную ось называть y, в физике это не принципиально. От этого выбора будет только меняться обозначение координаты в формулах и индексы проекций.
Продолжим описанием вертикального движения вниз (свободного падения):
Я взял направление оси вниз, что опять же повлияло только на знаки проекций. Теперь и проекция скорости, и проекция ускорения - со знаком плюс. Это опять же сделано для удобства расчёта координаты и только.
С помощью набора этих формул, можно описать положение тела и его скорость в любой момент времени - что и является главной задачей кинематики.
Движение под углом к горизонту
Теперь перейдём, пожалуй, к самой математически сложной во всей школьной программе теме - движению под углом к горизонту. Сложность состоит в обилии тригонометрии и анализе функций. Постараюсь расписать всё максимально подробно, чтобы был понятен каждый шаг вывода уравнений.
Уравнения координат
Движение под углом к горизонту не описывается привычным нам образом. Так как траекторией такого движения является парабола, описание движения, в целом, представляется сложной математической задачей. Поэтому, чтобы облегчить описание, движение раскладывается на две составляющие - горизонтальную и вертикальную. То есть, мы будем описывать функции горизонтальной и вертикальной координаты (x и y) от времени, чтобы с их помощью находить положение тела в пространстве в любой момент времени (главная задача кинематики).
Как мы выяснили, ускорение при движении в поле тяжести Земли одно - ускорение свободного падения g. Главное его свойство в том, что g всегда направлено к центру Земли, то есть в нашем случае перпендикулярно горизонту. Следственно, движение вдоль горизонта будет равномерным (проекция ускорения ноль), а движение вдоль вертикали - равноускоренным (проекция ускорения по величине равно g).
Таким образом начнём с законов движения для горизонтальной составляющей х(t) и вертикальной y(t):
В случае, который приведён на рисунке, начальные координаты равны нулю. Как уже говорилось, проекция ускорения на вертикальную ось равно ускорению свободного падения g со знаком минус. С проекциями начальной скорости будет несколько сложнее.
Начальная скорость направлена под углом альфа к горизонту, то есть имеет как горизонтальную составляющую, так и вертикальную.
Для нахождения проекций на оси придётся применить тригонометрию:
Таким образом, с учётом нулевых начальных координат и проекцией ускорения равной -g, получим:
Уравнения скоростей
Зависимость скоростей можно найти двумя способами:
- Через канонические уравнения движений (как мы делали с координатами);
- Через производные от координат (скорость есть производная от координаты, см. статью про равноускоренное движение).
Воспользуемся первым способом, он будет более нагляден. Второй способ быстрее и получается чисто математически, но не каждый ещё ознакомился с темой производной функции.
Общий вид уравнений зависимостей скоростей:
Для нашего случая, с учётом выражения проекций:
Время полёта и падения
Теперь начинается самая магия. Нам нужно найти время полёта, имея функции зависимости координат от времени. То есть, нужно найти определённое значение параметра функции. Это можно сделать путём подстановки этого параметра в уравнение и последующего выражения его из него. Самым простым вариантом будет записать функцию y(t) при этом параметре, так как, при времени равном времени полёта, значение координаты y станет равным нулю (тело упадёт на Землю), что и облегчит наше решение. На практике будет понятнее, сделаем это:
Решением уравнения будет совокупность:
Корень первого уравнения ноль и это правильный корень, так как в нулевой момент времени координата y как раз и равна нулю. Нас больше интересует второй корень, при его решении получим:
Также, отсюда можно найти время подъёма тела до максимальной высоты H. Так как движение симметрично, относительно вершины параболы, то и время подъёма и падения будут друг другу равны. Из сложения времени подъёма и падения, как раз и получается время полёта, поэтому имеет место быть следующая связь:
Дальность полёта
Дальность - это максимальное отклонения тела вдоль горизонтальной оси. Её можно найти, как значение функции при определённом моменте времени. Так как это максимальное отклонение вдоль горизонта, возьмём уравнение x(t), при уже известном нам времени полёта (x примет значение L как раз в этот момент):
В последней строке была применена формула синуса двойного угла.
Кстати, из последнего уравнения видно, что максимальное значение, дальность принимает при синусе равном единице. Синус равен единице при аргументе равном 90 градусов. Значит два альфа, как аргумент синуса, равен 90 градусов или просто альфа - равен 45 градусов (есть подобная задача с объяснением во второй части ЕГЭ).
Максимальная высота полёта
Максимальную высоту H можно находить, как значение функции y(t). Эта функция достигает значения H в момент подъёма. Время подъёма мы находили раннее, поэтому остаётся только подставить его в уравнение координаты и тем самым получить H:
Чуть-чуть арифметики...
Заключение
Как я уже говорил, данная тема одна из самых сложных. При наличии большого времени до экзамена, крайне советую её освоить. Методы применённые в ней - основные методы в любом разделе физики и особенно в кинематике. В школьной программе, более не встречается таких сложных выводов формул, но в любом техническом ВУЗе - знание этих методов необходимо.
Куда бы вы не поступили, на механика, конструктора, теоретика, материаловеда - везде есть функции описывающие какие-либо явления, везде необходимо их использовать под определённые параметры и находить определённые зависимости под эти случаи.
автор - Фатуллаев Глеб
Контакты:
mr.gleb-fatullaev@yandex.ru