Радуйся — буквальный перевод греческого слова «Хайре!», употреблявшегося в качестве приветствия и прощания, в смысле «здравствуй», «будь здоров». Друзья приветствовали друг друга словом «хайре». «Хай» — сегодня неформальное приветствие в английском языке. «Охайё годзаимас» (яп. おはようございます) — это вежливая форма приветствия «доброе утро» на японском языке.
Это слово есть и в осетинском языке. Когда человек чихает, ему говорят: «Хайыр!» (вместо "будь здоров"). Тоже основа ХАЙ.
«Печаль, которая не проявляется в слезах, заставляет плакать другие органы», – сказал известный нейрофизиолог академик К.М.Быков. Так, например, причину насморка связывают с внутренними слезами, печалью и сожалением. Знание этого факта делает понятным старинное пожелание «Радуйся!» чихающему. Это скорее совет, как остановить простуду в её самом начале. Нужно просто перестать грустить.
Возведение его к араб., перс, xalr ’добро’, ’благо’, ’благополучие’, ’счастье’; тюрк. xajyr, xajr, hajyr считаю ошибочным. Скорее наоборот: современная психология указывает на зависимость успеха и материального благополучия от позитивного настроя человека. Да и в историческом контексте древнегреческий язык архаичнее арабского. Поэтому, вероятнее всего, слово ХАЙ изначально в праиндоевропейском означало РАДОСТЬ, а уже из него попало и в греческий, и в осетинский, и в арабский, и в персидский, и в тюркские, и в кавказские языки, переплавившись постепенно в пожелание ДОБРА, СЧАСТЬЯ И БЛАГОПОЛУЧИЯ.