Представьте, что вы всю жизнь жили на идеально плоском бесконечном столе. Весь мир – это сплошь прямые дороги, плоские листы бумаги и квадратные дома. Долгое время человечество было уверено, что наш мир «плоский» с точки зрения математики. Первопроходцами в геометрии были, как и во многом другом, были Египет и державы Месопотамии, но геометрия как единая система знания зародилась у греков. «Плоскость» мира не означает, что люди не умели работать с объемными фигурами: стереометрия уже, конечно, была. Однако пространство в такой системе понималось как абсолютно ровное, не допускающее никакой кривизны.
Рождение тайны
На рубеже VII и VI вв. в ряде полисов Малой Азии, Италии и отчасти Балкан появляются первые философы, в разной степени подробности трактующие математические проблемы. Начиная с этого момента, древнегреческая математика развивается особенно активно, а в IV в. до н.э. александрийский геометр Эвклид проводит обобщающую работу, структурируя и дополняя накопившиеся открытия в геометрической области.
Эвклид трудился, главным образом, в Александрии, во времена Птолемея I Сотера, который, как известно, активно покровительствовал наукам. Эвклид построил свою математическую вселенную из нескольких базовых кирпичиков — аксиом. Аксиомы – утверждения, которые принимаются на веру без доказательств, ввиду своей абсолютной очевидности. Аксиом было всего пять. Например: «через любые две точки можно провести прямую линию» или «все прямые углы равны между собой». На основе этих нехитрых правил строилась вся школьная геометрия, которую мы учили: в ней параллельные прямые никогда не пересекаются, как рельсы, а фигуры можно двигать и вращать в любом направлении, и они не изменят свою форму и размеры. В школе мы, в основном, работаем с этой, т.н. «эвклидовой» геометрией.
Дословно аксиомы Эвклида были сформулированы так:
Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки <можно>
провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно
продолжать по прямой
3. И что из всякого центра и всяким раствором
может быть описан круг
4. И что все прямые углы равны между
собой
5. И если прямая, падающая на две прямые,
образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух,
прямых , то продолженные эти две прямые неограниченно
встретятся с той стороны, где углы меньшие двух
прямых
Однако среди этих понятных правил затаилось одно, которое не давало ученым покоя целые тысячелетия. Речь о знаменитой пятой аксиоме — той, что о параллельных прямых. Если перетолковать её более понятным языком, то она звучит так: если у вас есть прямая линия и точка рядом с ней, то через эту точку можно провести только одну-единственную прямую, которая будет параллельна первой.
Это кажется настолько очевидным, что математики веками пытались доказать это утверждение как теорему, чтобы убрать его из списка аксиом. Они думали: «Зачем принимать на веру то, что и так понятно? Давайте выведем это из других, более простых правил!». Сотни ученых тратили годы жизни, исписывали горы бумаги, но раз за разом терпели неудачу. Каждый раз в их логических рассуждениях обнаруживалась скрытая ошибка.
Против аксиомы не попрёшь. Или всё же?..
В начале XIX века русский математик Николай Лобачевский пошел на невероятный по дерзости шаг. Он решил: если за две тысячи лет никто не смог доказать это правило, может быть, оно вовсе не необходимо? Что, если это не единственная возможная истина, а просто один из вариантов?
Лобачевский взял и, в качестве гипотезы, заменил пятый постулат Эвклида на противоположный. Он предположил: через точку вне прямой можно провести как минимум две (а на самом деле бесконечно много) прямые линии, которые никогда не пересекутся с исходной.
Современники крутили пальцем у виска. Как это так? Ведь если провести через одну точку несколько прямых в разные стороны, они же должны разойтись веером и какая-то из них обязательно пересечет первую линию! На обычном плоском листе бумаги именно так и получится. Но Лобачевский не стал рисовать на бумаге. Он начал строить строгую математическую логику на основе своего нового правила. Расчёт был таков, что гипотеза опровергнет сама себя на каком-то этапе и, таким образом, станет доказательством правоты Эвклида. Но противоречия не возникало.
Результат вышел ровно противоположным: перед Лобачевским развернулась удивительная, гармоничная и стройная геометрия. В ней действовали свои законы, непривычные для нашего глаза, но безупречные с точки зрения логики. «О началах геометрии» была напечатана частями в журнале «Казанский вестник» в 1830, а в 1840 труд Лобачевского был переведен и издан на немецком. Позже выяснилось, что к таким же выводам независимо пришли немец Карл Гаусс и венгр Янош Бойяи, но именно Лобачевский первым решился опубликовать свою работу, за что этот новый мир и получил имя геометрии Лобачевского.
Понять геометрию Лобачевского поначалу трудно, потому что наш разум привык представлять геометрию на плоскости грифельной доски, тетрадного листа или даже экрана гаджета. Если объяснить в очень общих чертах, то геометрию Лобачевского можно наглядно представить с помощью простых примеров.
Самое яркое отличие новой геометрии кроется в треугольниках. Из школы мы помним железное правило: сумма трех углов любого треугольника всегда равна 180 градусам. Сложите их — и получите ровную линию.
В мире Лобачевского все иначе. Там сумма углов любого треугольника всегда меньше 180 градусов. Более того, в этой геометрии треугольники обладают странным свойством: чем больше сам треугольник по площади, тем меньше сумма его углов! Если мы нарисуем гигантский треугольник размером с галактику, его углы станут совсем острыми, похожими на иголки, а их сумма приблизится к нулю. А если треугольник совсем крошечный, он становится почти евклидовым, и сумма его углов приближается к привычным 180 градусам. Из-за этого в геометрии Лобачевского нет понятия «подобных фигур» — нельзя сделать точную копию треугольника большего размера, он неизбежно изменит свои углы.
Чтобы увидеть это своими глазами, представьте обычные чипсы Pringles или лошадиное седло. Такая форма в математике называется поверхностью с отрицательной кривизной. Если вы попытаетесь натянуть нитку (провести кратчайшую линию) между тремя точками на седле, у вас получится треугольник, стороны которого будут вогнуты внутрь. Его углы станут более острыми, а их сумма окажется меньше 180 градусов. На такой искривленной поверхности линии, которые изначально казались параллельными, начинают стремительно разбегаться в разные стороны.
Наследие Лобачевского
Еще один способ подглядеть в этот мир придумал французский ученый Анри Пуанкаре в 1880 г. Именно Пуанкаре сыграл ключевую роль в международном признании трудов Николая Лобачевского. Он предложил модель «волшебного круга». Представьте круглый стол, на котором живут плоские человечки. В этом мире действует странный закон природы: чем ближе вы подходите к краю круга, тем меньше становитесь вы сами, ваши линейки и ваши шаги. Причем уменьшение происходит плавно и незаметно для вас самих. Когда житель этого круга идет к границе стола, его шаги становятся бесконечно маленькими. Ему кажется, что он идет вперед по прямой линии, но для нас, смотрящих на стол сверху, его путь выглядит как дуга, загибающаяся внутрь. Дойти до края круга этот человечек не сможет никогда — для него этот край находится на бесконечном расстоянии. В этом волшебном круге прямые линии Лобачевского выглядят для нас как дуги окружностей, которые упираются в края стола. И если нарисовать там точку и линию, станет ясно видно: через одну точку можно провести сколько угодно дуг, которые никогда не пересекутся с первой линией.
Эксперименты Лобачевского с воображаемыми пространствами казались чистой абстракцией, пока в начале XX века Альберт Эйнштейн не создал Общую теорию относительности. Оказалось, что наша реальная Вселенная вовсе не плоская! Тяжелые объекты — такие как Солнце, Земля или черные дыры — своим притяжением буквально продавливают и искривляют пространство вокруг себя. Свет далеких звезд, пролетая мимо Солнца, путешествует не по прямым линиям Евклида, а по искривленным траекториям, подчиняясь законам неевклидовой геометрии.
Николай Лобачевский опередил свое время на столетие. Его «воображаемая геометрия» подарила человечеству свободу мысли и научила нас смотреть на мир шире, напоминая, что реальность далеко не всегда совпадает с тем, что кажется нам простым и очевидным.
Что почитать?
Если Вам интересно почитать больше про геометрию вообще, про Лобачевского и другие неевклидовые «геометрии», то отсылаю Вас к замечательной популярной книге Мацуо Комацу “Многообразие геометрии”, а при серьезном интересе рекомендую “Геометрии” А.Б. Сосинского и лекции прочитанные по ней в НМУ В.О. Медведевым (можно найти в сети).
#историянауки #историяматематики
Больше постов по истории России по тегу #ТысячаЛетГосударства