Алексей Чуличков, д.ф.-м.н.
Одни из основных вопросов, которыми интересуется человек – это вопросы о происхождении мира и о его судьбе. О том, кто такой человек, каковы его истоки и цели, и может ли он формировать свое будущее и будущее мира, или все уже предопределено. И особый интерес вызывает вопрос о тайне возникновения нового, того, чего раньше никогда не было. Для ответа на этот вопрос мы будем использовать подходы, которые даются в философии Платона и в современной науке, и особенно в ее разделе, называемом синергетикой.
Платон говорит, что если что-то возникает, то должна быть для этого причина. Причиной возникновения вещей и явлений служат идеи. Идеи существуют вечно, но, опускаясь в мир материи, рождают вещи чувственного мира, определяя порядок и закон их возникновения и существования. Материя здесь играет роль воспринимающего начала, она как будто бы кормит идеи и благодаря этому происходит рождение вещей, прежде не существовавших в мире чувственном.
Таким образом, для ответа на вопрос о том, откуда приходит новое, Платон разграничивает в мире вечное (не имеющее возникновения) и преходящее, возникающее. Мир вечный – это мир идей; это мир высшей реальности, он существует вне возникающего материального мира, представление о нем мы можем получить благодаря разуму, или, скорее благодаря душе. Единственный путь к пониманию мира и его законов человеком Платон видит в познании мира идей. Этот путь пролегает не вовне, а в самом человеке. Развитие добродетелей – мужества, мудрости, умеренности, справедливости – позволяет душе подниматься к миру идей, схватывая суть вещей. Сила же, ведущая нас по этому пути, – это любовь, дающая крылья.
Учение Платона об идеях как источниках возникающего дает привлекательную и правдоподобную картину мира, однако было бы интересно найти примеры того, как воплощаются идеи, порождая новое. Попробуем найти эти примеры в современной науке, которой мы склонны доверять в связи с ее успехами в описании чувственного мира. Философия Платона связывает явления мира чувственного с миром непроявленным, наука же связывает между собой явления проявленного (чувственного) мира, но в то же время для объяснения этих связей она использует математические модели. А эти модели – тоже объекты мира умопостигаемого, и это может служить основой для проведения параллелей между этими моделями и идеями Платона.
Действительно, в диалоге «Тимей» Платон утверждает, что его рассказ об устройстве мира есть правдоподобный миф. Язык мифа – это язык символов, и мы можем наполнить символы понятным для нас смыслом, пользуясь методом аналогий, устанавливая связь фактов науки с идеями Платона. Проведение такой связи кажется достаточно возможным. Об этом, например, говорится в книге «Эволюция физики» Альберта Эйнштейна и Леопольда Инфельда; объясняя цель написания этой книги, они говорят: «Наша цель состояла скорее в том, чтобы в общих чертах наметить попытки человеческого разума установить связь между миром идей и миром явлений».
Покажем, как путь, пройденный человеческим разумом от конкретных явлений материального мира до формирования математических понятий, можно интерпретировать как путь от мира чувственного до мира платоновских идей. В качестве первого примера рассмотрим историю формирования понятия числа.
Можно ли представить себе число? Не знак, который изображает это число, а именно само число? На мой взгляд, это невозможно, можно лишь увидеть его проявление в количестве объектов, которое оно обозначает. Иными словами, число можно понимать как результат пересчитывания объектов – это то, что стоит за примерами «три яблока, три ореха, три угла в треугольнике» и пр.
В книге Микаэля Лонэ «Большой роман о математике» приводится такая история возникновения числа. В древние времена, когда еще только начинало развиваться скотоводство, надо было понимать, увеличилось ли или уменьшилось стадо в результате выпаса. Для этого использовали глиняный сосуд и глиняные жетоны. Весной, когда овца выходила из загона, один жетон помещали в сосуд. Когда осенью стадо возвращались, то один жетон вынимался из сосуда всякий раз, когда овца заходила в ворота загона. Когда все стадо входило в загон, оставшиеся или недостающие жетоны говорили о том, насколько увеличилось или уменьшилось стадо. Это не всегда было удобно, т.к. не ясно было, сколько всего овец в стаде, т.е. сколько жетонов находится в сосуде. Тогда помещение жетона в сосуд стали дублировать нанесением специальных знаков на внешней поверхности сосуда. А потом догадались, что жетоны не обязательно класть в сосуд. Так возникла письменность, а числа получили собственное существование – они стали идеей количества.
Вторым примером идеальных математических понятий являются геометрические фигуры. Они, как следует из названия, возникли из практических потребностей планирования форм земельных участков, но путем абстрагирования от конкретных форм превратились в понятия, которым нет места в чувственном мире. Действительно, математическая прямая – это линия «нулевой ширины». Прямую мы можем мысленно представить, хотя нарисовать ее невозможно – любой рисунок даст нам линию хотя и малой, но не нулевой ширины. Значит, геометрические фигуры – это жители умопостигаемого мира, то есть мира, где живут идеи.
Но вернемся к вопросу о том, как же рождается новое и почему для нас это кажется загадкой, и как этот вопрос решается с помощью математического моделирования. В семнадцатом веке трудами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница была создана теория дифференциального исчисления, которая потом была развита в работах Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса и др. В том числе, была развита теория дифференциальных уравнений, которые описывали динамические системы. В этой теории поведение любой такой системы было полностью предсказуемо. Чтобы описать будущее, надо было задать начальные условия, то есть координаты всех точек системы в начальный момент времени, и скорости изменения этих координат. Таким образом, в этой теории не было места для объяснения возникновения новых объектов и форм, мир выглядел полностью предопределенным и предсказуемым. Это представление хорошо согласовывалось с христианской традицией, в которой считалось, что мир создан Богом и в таком виде существует вечно. Творец мыслится как создатель мира, наподобие часового мастера: Он запустил мир и создал закон его развития, а потом удалился, не вмешиваясь в течение его жизни.
Представление о том, что мир развивается согласно этой математической теории, породило фатализм, который становится модным мировоззрением на границе восемнадцатого и девятнадцатого веков. Но принять эту идеологию – значит, отказать человеку в свободном творчестве, в том числе и в способности изменять будущее, а это вступает в противоречие с нашим жизненным опытом: точка зрения на то, что будущее однозначно предопределено, противоречит представлению о свободе воли человека. Мы убеждены, что от наших действий зависит и наша судьба, и судьба мира.
Еще одна сложность, связанная с несогласием между математическими моделями реальности и нашим опытом, состоит в том, что все законы классической физики мыслятся обратимыми во времени: камень, брошенный из точки А в точку Б, полетит по той же траектории из точки Б в точку А, если бросить его из точки Б со скоростью, равной по величине скорости камня в точке Б, и противоположной по направлению. Камень теперь как будто бы летит из будущего в прошлое (рис. 1).
Это же свойственно не только механическим явлениям, но и законам электромагнетизма, оптики и, позднее, – квантовой физики. Этот факт можно интерпретировать как обратимость всех процессов – нет запрета двигаться по времени из будущего в прошлое. Но наш опыт показывает, что жизнь течет в одном направлении, люди стареют, вещи с течением времени разрушаются и так далее, но никто не видел, как старые люди молодеют или как из осколков вазы складывается целый сосуд.
В то же время идеи о том, что в мире происходят существенные изменения, появляются в биологии. Чарльз Дарвин в 1859 году публикует свой труд, где сформулированы факторы эволюции – изменчивость, наследственность и естественный отбор. Мир биологических существ начинает рассматриваться как изменяющийся и усложняющийся с течением времени, в нем откуда-то возникают новые виды живых существ. Позже идеи эволюционизма начинают проникать в другие области науки. В физике находятся законы, позволяющие указать, что некоторые процессы могут идти только в одном направлении: в замкнутых системах, не обменивающихся с окружением массой, энергией и информацией, порядок сменяется хаосом. Это так называемое второе начало термодинамики, сформулированное Людвигом Больцманом в 1872 году.
Принцип фатализма входит в противоречие и с фактами поведения реальных физических систем, в которых невозможно предугадать, по какому пути будет двигаться система в следующие моменты времени – их будущее представляется многовариантным. Например, если взять упругую балку и приложить к ней силу, сжимающую ее, то балка может выгнуться в ту или иную сторону (рис. 2).
Если взять линейку и постараться уравновесить ее, помещая точку подвеса внизу линейки, то малейший толчок выведет ее из равновесия, и предсказать, в какую сторону она упадет, не представляется возможным. Траектория системы в окрестности неустойчивого равновесия как будто разветвляется на два пути, что графически выглядит как вилка с двумя зубьями (бифуркация), в реальности система может выбрать один из путей.
Другим примером возникновения нового являются системы, поведение которых вдруг существенно меняется, в их поведении возникают режимы, которые ранее не существовали. Например, капля, переполнившая чашу с водой, приводит к тому, что вода резко вытечет из чаши. В атмосфере в результате нагрева от Солнца ее нижних слоев могут возникнуть структуры, показанные на рисунке – это явление называется неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца. Нагретый воздух легче холодного, он прорывается наверх, образуя упорядоченные формы. Эти структуры возникают из однородной хаотической атмосферы, в которой не было и следов таких форм.
Еще один пример – возникновение вихрей в чаше, в которую налито масло и которую начинают подогревать снизу. Это явление тоже связано с неустойчивостью, возникающей при нагреве нижних слоев масла. Но удивительно, что эти структуры упорядочены и очень устойчивы. Они называются ячейками Бенара (рис. 4).
Вы можете наблюдать их в собственной кухне, налив масло в сковороду с толстым дном и поставив ее на огонь. Вы увидите, что масло начинает бурлить в виде почти правильных шестиугольных ячеек. Такие ячейки возникают и на поверхности Солнца.
Характерно, что все последние рассмотренные примеры не укладываются в математические модели классической теории дифференциальных уравнений. В 1902 году французский математик Адамар сформулировал критерий корректной математической задачи. Она, во-первых, должна иметь решение, во-вторых – решение должно быть единственным, и в-третьих – оно не должно сильно изменяться при малых изменениях параметров математической модели. Третье условие называется устойчивостью. Все приведенные примеры показывают, что для их математического описания потребуется решать некорректные (по Адамару) задачи. Действительно, если использовать грубое описание этих процессов, то получается задача с не единственным ответом, а попытка уточнения модели приводит к неустойчивости. Методы решения таких задач были созданы в двадцатом веке. К ним относится, например, раздел науки, изучающий механизм возникновения структур типа ячеек Бенара или неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Этот раздел, созданный Германом Хакеном, получил название синергетики – науки о совместном действии многих факторов. В основе синергетических математических моделей лежит представление о петлях обратной связи – положительных, в результате которых возникают структуры, отрицательных, разрушающих их, и нелинейности, стабилизирующей структуры. Такие петли и нелинейность характерны для поведения систем, находящихся в состоянии динамического равновесия, достигаемого в результате движения системы. Примером динамического равновесия является езда на велосипеде, когда устойчивость достигается движением и управлением рулем, предотвращающим падение велосипеда.
Еще одна известная модель, в которой присутствует неустойчивость, называется аттрактором Лоренца (рис. 5).
Попытавшись максимально упростить уравнения динамики жидкости, которым подчиняются ячейки Бенара, Эдвард Лоренц получил систему дифференциальных уравнений, решение которой можно представить как движение точки в трехмерном пространстве. Ее траектория выглядит как два крыла бабочки, каждое крыло представляет собой вращение вокруг одного из двух центров, и смена вращений вокруг этих центров происходит хаотически, хотя и полностью предсказуемо моделью. В области пространства, где крылья бабочки пересекаются, сколь угодно малое изменение траектории может привести к тому, что движение вокруг одного из центров сменится вращением вокруг другого, тем самым вызывая неустойчивость движения. Такое поведение траектории движения свойственно так называемым странным аттракторам.
Математическая теория сложных нелинейных систем с неустойчивостью позволила снять противоречия реальных динамических процессов с предсказуемостью их поведения. Оказывается, сложные системы в своем развитии проходят через состояния неустойчивости, в котором любое сколь угодно малое воздействие приводит к существенному изменению будущего. Неустойчивость систем означает, что у них есть горизонт предсказуемости: в моменты неустойчивости, вызванной сколь угодно малым изменением состояния системы, можно заменить один вид движения другим, тем самым изменив будущее. Кроме того, поскольку измерить состояние системы с бесконечной математической точностью принципиально невозможно, то предсказать будущее системы, проходящей через неустойчивые состояния, не удается. Это свойство динамических систем иллюстрируется в рассказе Рэя Бедбери «И грянул гром», в котором путешественники в прошлое раздавили бабочку, а в результате вернулись в существенно измененное настоящее.
Анализ сложных систем показал, что системы могут развиваться по небольшому числу сценариев. С течением времени траектория движения системы в зависимости от ее начального состояния притягивается к тому или иному состоянию, называемому аттрактором. В устройстве системы заложены эти возможные состояния, они не реализованы, но могут быть предсказаны математически. Эти аттракторы являются моделями будущего, притяжение к ним траекторий систем можно интерпретировать как стремление реальных процессов к состояниям, еще не существующим в реальности. Таким образом, динамика системы управляется математическими моделями, являющимися идеальными образцами. Эти образцы можно сопоставить с идеями Платона, дающими причину и закон развития систем. Итак, нашему миру свойственны процессы возникновения новых структур (т.е. аттракторов), существующих в сфере идеальных математических моделей, эти процессы получили название самоорганизации.
Эти идеи высказывались российскими исследователями Еленой Князевой и Сергеем Курдюмовым в работе «Эволюция Вселенной с точки зрения синергетики»: «Только определённые наборы форм осуществимы в природных средах. А на другие формы наложен эволюционный запрет… Результаты синергетики как бы возвращают нас к идеям древних о потенциальном и непроявленном. В частности, они близки к представлениям Платона о неких первообразцах и совершенных формах в мире идей, уподобиться которым стремятся вещи видимого, всегда несовершенного мира».
Множества состояний системы, притягивающиеся к тому или иному аттрактору, называются бассейнами притяжения (рис. 6). Эти аттракторы определяют будущее системы, находящейся в его бассейне: с течением времени поведение системы будет определяться формой аттрактора. Однако в математических моделях бассейны могут изменяться при изменении внешних параметров. Для человека этими параметрами могут служить его действия. Таким образом, мы сами можем конструировать свое будущее. Но если в состоянии неустойчивости и кризисов для изменения будущего требуется малые усилия, изменение бассейна притяжения может потребовать большого напряжения.
Но если для изменения будущего в условиях нестабильности и кризисов требуется немного усилий, то изменение зоны притяжения может потребовать огромных усилий. В последнем случае эти усилия можно сравнить с пересечением альпинистами горного хребта при переходе из одной горной долины в другую. Выбрав путь из точки, где долины пересекаются, мы с небольшим уклоном будем подниматься вверх по дну долины, до тех пор, пока не достигнем ее верхней части. Но если вы решили, что вам нужно перейти в другую долину, отделенную от вашей горным хребтом, вам придется забираться вверх через перевал. Сначала путь кажется легким, но чем дальше вы идете, тем круче подъем. Достигнув предвершинного пологого склона, вам будет легче идти, но если вы думаете, что цель достигнута и перестанете делать усилия для преодоления высоты, вы скатитесь снова на дно долины. И только перейдя через перевал, вы можете быть уверены, что перешли в другую долину.
Итак, философия Платона и наука описывают один и тот же мир, хотя и разными языками, дополняя друг друга. Платон описал идеи как образцы всего сущего и дал способ их понимания через развитие добродетелей, наука дает математические модели управления и достижения еще не проявленного будущего через изменение параметров динамической системы, что может быть вызвано, в том числе, и действиями человека. Веря, что математика является эффективным способом понимания устройства реального мира, и пользуясь ее моделями, мы можем получить представление о главных принципах и механизмах планирования и построения нашего будущего.