Когда ребята доходят во второй части ОГЭ до задания №20 и видят уравнение с огромными скобками в квадратах, первая реакция почти всегда одинаковая: «Ого, квадраты! Сейчас я по формулам все раскрою, перенесу в одну сторону и посчитаю».
И это самый короткий путь к катастрофе на экзамене. Как только вы начнете раскрывать скобки в уравнении вида (x² - 25)² + (x² + 3x - 10)² = 0, вы возведете квадрат в квадрат и получите x в четвертой степени. Уравнение превратится в огромного, неповоротливого монстра. Вы потратите минимум 15 минут драгоценного времени, запутаетесь в куче слагаемых, скорее всего, ошибетесь в знаках и получите ноль баллов.
Хотя на самом деле это задание решается ровно в три строчки. Составители ОГЭ добавили его в банк не для того, чтобы проверить, как вы умеете раскрывать скобки, а чтобы оценить ваше логическое мышление. Давайте разберем красивый и быстрый алгоритм, за который эксперты на экзамене без вопросов поставят вам максимальные 2 из 2 баллов.
В чем секрет? Главная логика уравнения
Посмотрите на уравнение внимательно: у нас складываются два выражения, и каждое из них возведено в квадрат. А теперь включим базовую логику:
- Может ли число в квадрате быть отрицательным? Нет, никогда. Любое число в квадрате всегда больше или равно нулю.
- Что произойдет, если мы сложим два положительных числа? Мы получим еще большее положительное число (например, 5 + 3 = 8).
- А как тогда сумма двух квадратов может стать равной нулю?
Есть единственный математический сценарий, когда такое возможно: если обе скобки одновременно превратятся в ноль. Если хотя бы одна скобка будет хоть каплю больше нуля (например, 0 + 0,01), то в сумме мы ноль уже никак не получим.
Поэтому вместо того, чтобы раскрывать скобки и мучиться с четвертой степенью, мы имеем полное право заменить это страшное уравнение на простую систему из двух уравнений:
Фигурная скобка здесь критически важна — она означает слово «И». То есть нам нужно найти такое число x, которое обратит в ноль и первое, и второе выражение одновременно.
Пошаговый разбор решения
Давайте решим эту систему так, как это объясняют в школе с примерами на подстановку.
Шаг 1. Решаем первое уравнение системы:
x² - 25 = 0
x² = 25
Отсюда получаем два кандидата на ответ:
x = 5 или x = -5
Шаг 2. Проверяем наших кандидатов через второе уравнение:
Теперь нам нужно выяснить, какое из этих двух чисел сможет обнулить и вторую скобку. Просто подставим их по очереди во второе уравнение системы: x² + 3x - 10 = 0.
- Проверяем x = 5:
5² + 3 · 5 - 10 = 25 + 15 - 10 = 30
Тридцать не равно нулю! Значит, число 5 нам не подходит. Оно обнуляет только первую скобку, а вторую превращает в 30. Сумма квадратов нулю равняться не будет. - Проверяем x = -5:
(-5)² + 3 · (-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0
Ноль равен нулю! Идеально. Число -5 подошло под оба условия. Оно одновременно превращает в ноль и первую, и вторую скобку.
Ответ: -5.
Вот и всё! Никаких дискриминантов для четвертой степени, никаких громоздких вычислений. Чистая логика и три строчки аккуратного текста.
Как выглядит идеальное оформление на экзамене
Вторая часть ОГЭ проверяется экспертами вручную, и здесь правильный ответ без понятного и логичного хода решения — это гарантированный ноль. Эксперт должен видеть, откуда взялась система и почему вы выбрали именно этот корень.
Ниже я прикрепил пример страницы из своей рабочей тетради. Посмотрите, как лаконично, чисто и математически грамотно там оформлен разбор аналогичного типа задач.
Именно по таким шаблонам мои ученики учатся оформлять вторую часть. Ничего лишнего, никакой «воды», но при этом соблюдены абсолютно все строгие критерии ФИПИ. Эксперту просто не к чему придраться, и он сразу ставит максимальные 2 балла.
Как закрепить результат и подготовиться без стресса?
В математике мало просто прочитать один разбор и сказать: «А, ну теперь мне всё понятно». Без практики этот навык улетучится уже через пару дней. А на самом экзамене под воздействием стресса мозг может снова подкинуть старую привычку — начать раскрывать скобки.
Чтобы этого не произошло, решение нужно довести до автоматизма. И делать это лучше на проверенных задачах, которые реально встретятся в бланках.
Все актуальные прототипы 20 задания из Открытого банка ФИПИ я собрал в своей авторской Рабочей тетради по 20 заданию ОГЭ.
В ней вас ждут:
- Четкая структура: от простых выражений и таких систем до коварных неравенств.
- Удобный формат: можно решать прямо внутри тетради, не отвлекаясь на стопки черновиков. (удобно если есть планшет со стилусом, но можно и распечатать)
- Ценность материала сильно выше цены в 200р (пишу сразу, чтобы вам было удобно)
А если вам или вашему ребенку необходима индивидуальная поддержка, контроль за выполнением домашних заданий и системный разбор всех ловушек ОГЭ от первой до последней задачи — я жду вас на своих занятиях. Мы спокойно, без нервов разберем всю теорию и превратим страх перед экзаменационными бланками в уверенность.
Скачать рабочую тетрадь, записаться на диагностику знаний и подписаться на мои образовательные блоги в соцсетях (Telegram, Дзен, VK, TikTok) можно по одной удобной ссылке: