Слово «доска» — общеславянское. Оно восходит к праславянскому корню dъska. От него произошли, например, украинское «дошка», чешское deska, словенское dǝskà.
При этом сам корень — заимствованный. Считается, что славяне взяли его из германских языков средне-нидерландское disc, древневерхненемецкое tisc, англосаксонское disc — всё в значении «стол, блюдо». А в германские языки слово пришло из латинского discus («диск, блюдо, кружок»), которое, в свою очередь, было заимствовано из греческого δίσκος (diskos).
Есть и любопытная деталь: в славянском языке звук *ь* (мягкий) в иноязычном слове заменился на *ъ* (твёрдый) — это отражает то, как произносилось исходное *di* в языке-источнике. А форму женского рода, возможно, подсказало близкое по смыслу слово миса, миска.
Когда доски появились на Руси?
Тут важно разделить два момента: когда люди вообще стали раскалывать, рубить дерево на плоские пластины и когда появилось само слово.
Сами плоские деревянные пластины люди на Руси использовали очень давно — вместе с развитием ремёсел и быта. Дерево было основным материалом: из него делали утварь, детали построек, инструменты. Археологи находят разные деревянные предметы — заготовки для иконок, киотов, восковые таблички (церы), штампы для просфор (их иногда называют «пряничными досками»), элементы быта. Так что в каком-то виде «доски» как плоские деревянные заготовки существовали в быту и ремесле с глубокой древности.
А вот слово в письменных источниках фиксируется позже. В древнерусском языке существовала форма «дъска», и она уже имела значение не только «плоская пластина», но и «стол».
Есть и интересный бытовой пример: в Древней Руси (в том числе в Новгороде) для письма действительно использовали небольшие деревянные дощечки, покрытые воском — те самые церы. Писала (острые стержни) оставляли знаки на воске, а лопаточкой на другом конце стирали написанное. Такие находки подтверждают, что понятие «доска» в значении плоской поверхности для письма было в ходу.
Позже слово закрепилось и в других сферах. Например, в XII веке на деревянных досках нередко записывали долговые обязательства — такие документы так и называли «досками». А в более позднее время появились и специализированные виды: резные «пряничные доски» для формования пряников, «аспидные доски» (в деревянной рамке, для письма грифелем в школах).
Так что можно сказать так: сами плоские деревянные пластины люди использовали с древности, а слово для их обозначения закрепилось в языке в древнерусский период.