Взвешивания на чашечных весах один из распространенных видов олимпиадных задач на равенства. И это понятно: равновесие и есть равенство. Есть несколько архетипов таких задач. В основном взвешивания практикуют в олимпиадах 5-8 классов, но есть и задачи для 9-11 классов, и даже среди заданий 19 (олимпиадного) профильного ЕГЭ. Разберем.
Определить соотношение веса вещей
Этот тип в последние годы встречается не очень часто. Решаются такие задания просто. Даже без уравнений. Вот пример.
Задача 1. Как известно, чашечные весы приходят в равновесие, когда на обеих чашах одинаковый вес. На одной чаше весов лежат 9 одинаковых алмазов, а на другой — 4 одинаковых изумруда. Если добавить один такой же изумруд к алмазам, то весы будут уравновешены. Сколько алмазов уравновесят один изумруд? Ответ нужно обосновать.
Мы вчера обсуждали равенства здесь https://dzen.ru/a/ai902G7b_kpqQin2
Говорили о том, что при добавлении или вычитании одного и того же к обеим частям равенства, оно не изменится. Также равенство не изменится при умножении обоих его частей на одно и то же число. Дальше элементарно.
Составляем равенство по чашечным весам 9А+И=4И, где А - алмаз, И - изумруд. Вычитаем по одному И из обеих частей. Получаем 9А=3И. Делим обе части равенства на 3 и получаем ответ 3А=И. Простенько? Кому как. Могу поспорить, что в обычном 6 классе обычной школы половина класса такую задачу не решит. Как минимум половина.
Определение фальшивой монеты или монет
Это довольно часто встречающийся на олимпиадах тип заданий. Посмотрим на примерах.
Задача 2. Имеется 9 одинаковых с виду монет, из которых одна фальшивая, которая легче обычной монеты. Нужно найти фальшивую монету за два взвешивания.
Делим монеты на 3 кучки по три монеты. Взвешиваем 2 кучки на весах. Если кучки по весу равны, то фальшивая монета в третьей кучке. Если не равны, то фальшивая монета в той кучке, которая легче. В любом случае задача сократилась до поиска фальшивой монеты в кучке из трех монет за одно взвешивание. Берем из отобранной кучки две монеты и взвешиваем. Если веса монет равны, то фальшивая не на весах. Если не равны, то фальшивая та, которая легче. Вот и все. Однако дети без спецподготовки не решают.
Задача 3 (для любителей, которые здесь есть). Все то же самое, что в задаче 2, но монет 8. Ответ можно дать в комментариях.
Иногда даже использовать равенство не нужно. Достаточно просто подумать и посчитать. Вот такая задача.
Задача 4. Имеется 10 мешков с монетами. В 9 мешках монеты настоящие и весит каждая такая монета 10 граммов. В одном мешке монеты фальшивые и весит каждая монета 9 граммов. Как за одно взвешивание на весах с делениями (показывают вес в граммах) определить мешок с фальшивой монетой?
А вот как. Берем из первого мешка 1 монету, из второго 2 монеты и так далее. Из последнего мешка берем 10 монет. Если бы все монеты были настоящие, то они весили бы 1+2+3+...+10=550 грамм. Но в одном мешке монеты фальшивые. Пусть в 4 мешке. Тогда вес будет на 4 грамма меньше. Пусть в восьмом. Тогда на 8 граммов меньше. Таким образом, номер мешка с фальшивыми монетами тот, на сколько граммов общий вес отобранных таким образом монет меньше чем 550. И никаких логарифмов с интегралами. Логика и устный счет-с.
Задачи на обеспечение взвешивания вещей
Обычно это весы с гирями. Надо подобрать гири, чтобы определить любой вес из требуемых. Вот пример такой задачи.
Задача 5. Можно ли с помощью трех гирь, каждая из которых весит целое число килограммов, определить любой вес от 1 до 13 килограммов?
Если на олимпиаде просто ответить "можно", то баллов не будет. Привожу полное решение. С рассуждениями.
Гиря 1 кг нужна однозначно. Если взять гирю 2 кг, то ничего не получится. Значит берем гирю 3 кг и обеспечиваем взвешивания 1; 2;3 и 4 кг. Чтобы взвесить 13 кг нам понадобится гиря в 9 кг. Ответ: 1, 3 и 9 кг.
Читателям предлагается самостоятельно определить: как можно взвесить от 5 до 12 кг с таким набором весов.
Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить.
Не благодарите. Впрочем, донаты никто не отменял. Тогда уже я буду благодарен