Не секрет, что школьники плохо усваивают последовательности и прогрессии. Помочь в освоении может логика рассуждений и вычислений. Сначала определимся.
Последовательность в математике — это упорядоченный набор элементов (чаще всего чисел). Каждому элементу присвоен свой порядковый номер — натуральное число (1, 2, 3 и так далее). Сами элементы называют членами последовательности, а их номер — индексом. Будем искать что-то в последовательностях.
Покажем на примерах. Начнем с самых простых.
Пример 1. Есть последовательность, состоящая из нескольких натуральных чисел, каждый член которой не меньше 6. Сколько максимально может быть членов в этой последовательности, если сумма всех этих членов равна 100?
Решение. Рассуждаем: каждый член не меньше шести, но он может быть равен 6. Чем меньше размер члена. тем больше членов поместится в диапазоне до 100. Итак, делим 100 на 6. Получаем 16,6. Ответ: 16.
Пример 2. Есть последовательность, состоящая из нескольких натуральных чисел, причем первое число равно 1, а все остальные записаны в возрастающей последовательности (так, что более правое число больше любого более левого). Сколько максимально может быть записано чисел, если их общая сумма равна 50?
Решение. Рассуждаем: каждый последующий член последовательности больше предыдущего. Тогда самая "маленькая" последовательность это 1;2;3;...;n;... Это арифметическая прогрессия. Считаем, какая сумма ее членов уместится в 50. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Ответ: 9.
Примитивно? Отнюдь. Вот задание 18 из ЕГЭ Профиль 2025 (№18).
Пример 3. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?
Попробуем для 3 членов. Рассуждаем: первый член будет х, второй х+у, третий х+2у. Их сумма будет 3х+3у=3(х+у). Но 16 не делится на 3. Значит, для трех членов нельзя. Попробуем для 4 членов. х+(х+у)+(х+2у)+(х+3у) = 4х+6у. Для х=1 и у=2 получаем в сумме 16. Ответ: да, например 1 3 5 7.
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900? Рассуждаем точно так же, как в моем примере 2. Получаем ответ. Попробуйте решить сами.
Это наглядный пример, как можно получить 2 первичных балла на профильном ЕГЭ, просто правильно рассуждая о членах последовательности.
Пример 4. Хорошая погода стоит или один день после дождливого дня или три дня после двух подряд дождливых дней. Сколько максимально солнечных дней может быть в месяце августе? А в июне? Попробуйте решить сами.
В заключении замечу, что задачи на последовательности (не только чисел) активно применяются в тестах на IQ (в том числе в тестах Айзенка) и служат в определенной степени индикаторами состояния интеллекта человека.
Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить.