Как я уже отмечал, у многих современных российских школьников есть проблемы с делением целых чисел нацело. И это не только незнание таблицы деления. Корни проблемы сидят глубоко. Попробуем разобраться в этом.
Первичные признаки делимости
Это признаки, которые видны сразу. Или почти сразу. Так, например, при делении на 2 последняя цифра должна быть четной. Но этому не во всех школах учат. Проблемы чёт/нечет отчасти разобраны мной здесь:
Ну а для обычных ребят попроще скажем: последняя цифра 0 или 2 или 4 или 6 или 8. Сразу же определим признак делимости на 4: там число из двух последних цифр должно делиться на 4. И сразу включаем таблицу умножения (для тех, кто ее знает). Числа с окончаниями 00,04,08, ..., 40 на 4 делятся по таблице умножения. Для окончаний больше 40 просто вычитаем 40 или 80 и смотрим. Ну и еще число должно быть четным.
Более экзотично выглядит признак делимости на 8: там число, которое составляют три последние цифры исходного числа, должны делиться на 8. Выглядит уже страшно? Да без проблем! Поделите исходное число на 2 и проверьте делимость на 4. Дольше, но проще.
Довольно похожи признаки делимости на 5 и 10. Там важна последняя цифра: если это 0, то делится и на 5, и на 10, а если 5, то только на 5.
Более экзотично выглядит признак делимости на 8: там число, которое составляют три последние цифры исходного числа, должны делиться на 8. Выглядит уже страшно? Да без проблем! Поделите исходное число на 2 и проверьте делимость на 4. Дольше, но проще.
Признаки делимости на 3 и 9 связаны уже с подсчетом суммы цифр в числе. Если эта сумма делится на 3, то и само число делится на 3, а если делится на 9, то и само число делится на 9. Вроде бы легкотня. Но только вроде бы.
Почему детки в 5-6 классах плохо это понимают? Потому что плохо объясняют, заставляют заучить как стихи и сразу гонят на решение примеров. Шаг влево, шаг вправо вообще не обсуждается. Например, найти здесь число, которое делится на 3, но не делится на 9 из набора 18; 44, 48, 102, 135,172, 183. А такие задачки (аналоги) есть в ЕГЭ базового уровня. Ну, чуть-чуть сложнее.
Вторичные признаки делимости
С этим вообще беда. Великие составители учебников и не менее великие педагоги просто видимо не удосужились. Когда я спрашиваю у деток признаки делимости на 6, 12 или 24, то они вообще не понимают о чем я. Немного лучше с признаками делимости на 20, 40, 200, 400. А на самом деле это просто.
Вспомним действие деления: делимое:делитель=частное. А это значит, что делимое=делитель*частное. А если так, то нужно посмотреть, на что реально делится делитель. Возьмем, к примеру, число 12. 12 делится на 3 и на 4, значит число делится на 12, если одновременно делится на 3 и на 4. И фсё!
Для тех, кто не хочет каждый раз думать, можно эти признаки просто запомнить. Но думать полезнее и выгоднее.
Экзотические признаки делимости
В обычных школьных заданиях встречаются редко. Попадаются на олимпиадах и в профильном ЕГЭ по математике. Привожу для справки.
Число делится на 7 , когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Без комментариев.
Число делится на 11, если разность всех цифр в нечетных местах и цифр в четных местах, делится на 11. От себя замечу, в том числе равна 0.
Число делится на 13, если число его десятков умножить на 4 и сложить с оставшимися цифрами, кратно 13. Без комментариев.
Зачем это надо?
Применений признакам делимости в школьной математике довольно много. Это и поиски наименьшего общего кратного или наибольшего общего делителя, и разложение числа на простые множители, и сокращение дробей, и поиск пропорциональности. Но это уже другая история.
Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить.